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#1 10-02-2017 17:55:50
- tina
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support compact?
Bonour,
dans une preuve, je lis que le produit de convolution $T \star S \in \mathcal{D}$ t.q $T$ est une distribution à support compact, et $\varphi$ une fonction test.
Pour montrer que $T \star \varphi$ est a support compact, on dit dans le preuve que c'est grâce à l'inclusion
$$Supp (T \star \varphi) \subset Supp T + Supp \varphi$$
Donc comment cette dérnière inclusion peut nous affirmer que $T \star \varphi$ est à support compact?
Merci par avance.
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#3 10-02-2017 22:58:56
- tina
- Membre
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Re : support compact?
oui c'est ça, mais d'après moi, puisqu'on a calculer $T \star \varphi$, ca veut dire que les deux ensembles $Supp T$ et $Supp \varphi$ sont convolutifs, donc puisque les deux supports sont fermés et bornés, leur somme est fermée bornée, ce qui implique que $Sup (T \star \varphi)$ qui est inclus dans la somme est lui aussi fermé borné. C'est ok?
Merci par avance.
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#4 11-02-2017 14:34:57
- Yassine
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- Messages : 1 090
Re : support compact?
Oui pour la dernière partie du raisonnement (je ne vois pas à quoi sert l'argument que les deux supports sont convolutif, ni d'ailleurs l'affirmation "on a à calculer $T \star \varphi$, donc les supports sont convolutif !)
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#6 12-02-2017 10:35:53
- Yassine
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Re : support compact?
On n'utilise nulle part le fait que $Supp T + Supp \varphi$ est compact mais uniquement qu'il est borné.
Ce qui permet de dire que tout ensemble $X \subset Supp T + Supp \varphi$ est également borné. Si de plus $X$ est fermé, alors $X$ est compact (fermé et borné).
Comme par définition $Supp (T \star \varphi)$ est fermé (c'est l'adhérence d'un ensemble), ça permet de conclure.
Cela dit, la somme de deux compact est un compact ($A$ compact et $B$ compact, alors $A\times B$ compact. $f: (x,y) \mapsto x+y$ est continue. L'mage d'un compact par une fonction continue est un compact).
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