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Alain264

Invité

Extension de Corps

Bonjour à tous,

J'aimerai savoir pourquoi : [tex] \mathbb{R} [X] / ( X^2 + 1 ) \not \simeq \mathbb{R} [X] / ( X^2 + X + 1 ) [/tex]

Merci d'avance.

Alain264

Invité

Re : Extension de Corps

Ah d'accord, j'ai confondu [tex] \mathbb{R} [X] / (X^2 + X + 1) [/tex] et [tex] \mathbb{R} [X] / ( X^3 - 1 ) [/tex]. C'est vrai que : [tex] \mathbb{R} [X] / (X^2 +1 ) [/tex] et [tex] \mathbb{R} [X]/ ( X^3 - 1) [/tex] ne sont pas isomorphes ( sont deux extensions de degré respectivement [tex] 2 [/tex] et [tex] 3 [/tex], donc des degré qui diffèrent ). Mais, [tex] \mathbb{R} [X] / (X^2 +1 ) [/tex] et [tex] \mathbb{R} [X] / (X^2 +X+1 ) [/tex] sont toujours isomorphes, vue qu'ils ont le même degré d'extension.

Ostap Bender

Membre

Inscription : 23-12-2015

Messages : 242

Re : Extension de Corps

Bonsoir Alain.

Pour commencer, [tex]\displaystyle  \mathbb{R} [X]/ ( X^3 - 1)[/tex] n'est pas un corps, puisque [tex]X^3-1[/tex] n'est pas irréductible.

Ostap Bender

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Extension de Corps

Bonjour,

  Je ne suis pas d'accord avec toi sur au moins deux points :

1. Le premier, et bien Ostap Bender vient de le signaler pendant que j'écrivais!

2. Deux extensions de même degré ne sont pas toujours isomorphes. Là, il faut préciser ce qu'on entend par "isomorphe". Elles seront isomorphes en tant qu'espace vectoriel sur [tex]R[/tex], puisqu'elles ont la même dimension. Mais elles peuvent ne pas être isomorphes en tant que corps. Par exemple, [tex]\mathbb Q[\sqrt 2][/tex] et [tex]\mathbb Q[\sqrt 5] [/tex] ne sont pas isomorphes en tant que corps.

F.

Alain264

Invité

Re : Extension de Corps

Merci à vous deux pour votre éclairage.
Je m'excuse de ne poster ce message que tardivement.