Forum de mathématiques - Bibm@th.net

MathsEnFolie

Invité

Topologie Bolzano Weierstrass

Bonsoir,

Je travaille en ce moment sur un exercice qui a pour but final de démontrer le célèbre théorème de Bolzano-Weierstrass: soit l'équivalence entre les deux propositions suivantes sachant que (X,d) est un métrique et K un sous ensemble de X:

(a) K est compact;
(b) de toute suite de points de K, on peut extraire une sous-suite convergente dans K ou toute suite de points de K a une valeur d'adhérence dans K.

L'une des questions qui me posent soucis est la suivante:

Pour (a) => (b)

Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes:
(i) x est une valeur d'adhérence de {x_n}_n;
(ii) x appartient à l'intersection (k appartenant à N) {x_i : i > k} barre;
(iii) quelque soit k appartenant à N quelque rho >0 il existe i > k x_i appartenant B_rho(x)

J'ai réussi à montrer (i) <=> (iii), mais je ne sais pas comment rédiger (i) => (ii)

Je sais comment montrer que Adh(X) est inclus dans l'intersection (k appartenant à N) {x_i : i > k} barre; mais je n'arrive à montre l'autre inclusion.

Je m'excuse pour la mauvaise mise en page, je suis nouvelle sur le site, et je vous remercie de l'attention que vous avez pu accorder à mon message.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Topologie Bolzano Weierstrass

Bonsoir,

  Effectivement, il faudrait mieux que tu te mettes au code Latex pour rendre tes posts lisibles. Par exemple, ce n'est pas très clair où est placé "la barre". Si j'ai bien compris, tu veux démontrer que
[tex] \bigcap_{k\in\mathbb N}\overline{\{x_i;\ i>k\}}\subset \text{Adh}(X) [/tex],
où [tex]\text{Adh}(X)[/tex] désigne les valeurs d'adhérence de la suite.

Voici comment je m'y prendrais. Un élément [tex]x[/tex] est dans [tex]\text{Adh}(X)[/tex] s'il existe une suite strictement croissante d'entiers [tex](n_k)[/tex] telle que [tex](x_{n_k})[/tex] converge vers [tex]x[/tex].

Prenons maintenant [tex]y\in \bigcap_{k\in\mathbb N}\overline{\{x_i;\ i>k\}}[/tex]. Donc, pour tout [tex]k[/tex],
[tex]y\in \overline{\{x_i;\ i>k\}}[/tex] ce qui signifie encore que, pour tout [tex]k,\varepsilon[/tex],
il existe [tex]n\geq k[/tex] tel que [tex]d(x_n,y)\leq\varepsilon.[/tex]

On applique ceci pour [tex]k=1[/tex]. Il existe [tex]n_1[/tex] tel que [tex]d(y,x_{n_1})<1/2[/tex].

On applique ensuite ceci pour [tex]k=n_1[/tex]. Il existe [tex]n_2>n_1[/tex] tel que [tex]d(y,x_{n_2})<1/4[/tex].

On recommence avec [tex]k=n_2[/tex] et ainsi de suite. On va donc ainsi construire une suite [tex](n_k)[/tex] strictement croissante telle que [tex](x_{n_k})[/tex] converge vers [tex]y[/tex].

F.

MathsEnFolie

Invité

Re : Topologie Bolzano Weierstrass

Bonjour,

Je te remercie d'abord pour l'aide et l'attention que tu m'as accordée.

Cependant, je ne parviens pas à comprendre pourquoi le simple fait que (x_nk)  converge vers y suffit à montrer l'inclusion.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Topologie Bolzano Weierstrass

A cause de cette phrase :

Un élément [tex]x[/tex] est dans [tex]\text{Adh}(X)[/tex] s'il existe une suite strictement croissante d'entiers [tex](n_k)[/tex] telle que [tex](x_{n_k})[/tex] converge vers [tex]x[/tex].