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Jean-Averdien

Invité

convexité et barycentre

Bonjour,

je suis bloqué dans une question:
si on a n points pondérés. soit p entre 1 et n. soit u le barycentre des p premiers points et v le barycentre des n-p qui restent et w le barycentre de tous les points.

S'il vous plait ma question est: pourquoi w est le barycentre de u et v???

Merci d'avance.

freddy

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Re : convexité et barycentre

Salut,

très simple : pose l'équation du barycentre w et décompose le en u et v, c'est assez simple à faire.
C'est une question de linéarité.

Jean-Averdien

Invité

Re : convexité et barycentre

Bonjour,

Je l'est bien fait, mais le problème c'est lorsque je somme les barycentres u et v je trouve une somme qui contient l'inverse des p premiers poids avec une somme qui contient l'inverse des n-p autres qu'on ne peut pas sommer pour trouver une somme contenant l'inverse de la somme de tous les poids..et les indices sont décalés

S'il vous plait est ce que vous pouvez m'aider, je suis bien bloqué, je n'est même pas la solution!

Merci.

yoshi

Modo Ferox

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Re : convexité et barycentre

Salut,

Je reprends l'idée de freddy qui a tout dit :
Soient [tex]A_1(a_1),A_2(a_2), A_3(a_3)...A_p(a_p)[/tex] les p premiers points et leurs coeff...
On a [tex]u\left(\sum_{i=1}^p a_i\right)[/tex]
Et  [tex]A_1(a_{p+1}),A_2(a_{p+2}),... A_n(a_n)[/tex] les n-p  points suivants et leurs coeff...
On a [tex]v\left(\sum_{i=p+1}^n a_i\right)[/tex]
Il résulte de la défintion que  w le barycentre de u et v est tel que :
[tex]w\left(\sum_{i=1}^p a_i+\sum_{i=p+1}^n a_i\right)=w\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)[/tex]

On peut faire la même chose avec des vecteurs.
Et je ne vois pas comment tu peux obtenir des inverses...

@+

[EDIT] Plus le temps maintenant... Je le ferai avec des vecteurs à mon retour si nécessaire...

Jean-Averdien

Invité

Re : convexité et barycentre

Bonjour

par définition v est barycentre de n points pondérés s'il est égal à la (l'inverse de la somme de ses poids) fois (la somme des poids fois les vecteurs affectés)
je n'arrive pas à le faire c'est peut être parce que j'ai  mal compris la notion de barycentre. votre repense pourra m'aider à mieux comprendre.

Merci.

yoshi

Modo Ferox

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Re : convexité et barycentre

Re,

Soit M un point quelconque  et W, V, U les barycentres
[tex]\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MW}=a_1\overrightarrow{MA_1}+...+a_p\overrightarrow{MA_p}+a_{p+1}\overrightarrow{MA_{p+1}}+...+a_n\overrightarrow{MA_n}[/tex]
que je peux écrire comme ça  :
[tex]\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MW}=(a_1\overrightarrow{MA_1}+...+a_p\overrightarrow{MA_p})+(a_{p+1}\overrightarrow{MA_{p+1}}+...+a_n\overrightarrow{MA_n})[/tex]
Or U barycentre :
[tex]a_{1}\overrightarrow{MA_1}+...+a_p\overrightarrow{MA_p}=\left(\sum_{i=1}^p a_i\right) \overrightarrow{MU}[/tex]
et V barycentre :
[tex]a_{p+1}\overrightarrow{MA_{p+1}}+...+a_n\overrightarrow{MA_n}=\left(\sum_{i=p+1}^n a_i\right) \overrightarrow{MV}[/tex]
Je remplace et j'obtiens :
[tex]\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MW}=\left(\sum_{i=1}^p a_i\right) \overrightarrow{MU}+\left(\sum_{i=p+1}^n a_i\right) \overrightarrow{MV}[/tex]

Ça te va ?

@+

[EDIT] antépénultième et avant-dernière lignes de calcul : j'avais oublié les [tex]a_i[/tex] dans les parenthèses...

Dernière modification par yoshi (26-11-2015 15:33:33)

Jean-Averdien

Invité

Re : convexité et barycentre

Je ne savais pas que c'était facile à ce point, en tout cas merci pour tous.