Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 26-01-2015 11:28:17
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Bonjour,
Les exercices comportant des [tex]n[/tex] dans les intervalles me posent problème... Pouvez-vous me dire si ce que je fais est bon svp ?
On considère [tex]f_n(x) = \left\{\begin{matrix}nx - \dfrac{1}{n} & \text{si $x \in [0,\dfrac{1}{n}]$}\\1 - x & \text{si $x \in [\dfrac{1}{n},1]$}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0[/tex], donc si [tex]x = 0[/tex] alors [tex]\lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0[/tex]
Si [tex]x = 1[/tex] alors [tex]\lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0[/tex]
Pour tout [tex]0 < x < 1[/tex], il existe [tex]n_0 \in \mathbb{N}^{*}[/tex] tel que [tex]x > \dfrac{1}{n_0}[/tex].
[tex]n \geqslant n_0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{n_0} < x[/tex] et donc [tex]\lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1 - x[/tex].
Donc [tex](f_n)[/tex] converge simplement vers [tex]f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\1 - x &\text{si $0 < x < 1$}\\0 & \text{si $x = 1$}\end{matrix}\right.[/tex]
Est-ce bien ça ?
Merci d'avance
Dernière modification par jimijims (26-01-2015 11:28:44)
Hors ligne
#4 26-01-2015 11:53:29
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
[tex]f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}- \dfrac{1}{n} - 0 & \text{si $x = 0$}\\1 - x - (1- x) & \text{si $x > 0$}\end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\0 &\text{si $x > 0$}\end{matrix}\right.[/tex]
Donc [tex]|| f_n(x) - f(x)||_{\infty}= 0[/tex], donc [tex](f_n)[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex] sur [tex][0,1][/tex]
Dernière modification par jimijims (26-01-2015 11:59:52)
Hors ligne
#5 26-01-2015 12:44:28
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Ah la non, je ne suis pas d'accord!
Si tu avais [tex]\|f_n-f\|_\infty=0[/tex] tu aurais [tex]f_n=f[/tex] ce qui n'est pas le cas.
Par exemple [tex]f_n(0)=-\frac 1n\neq f(0)[/tex] ce qui montre au passage que [tex]\|f_n-f\|_\infty\geq |f_n(0)-f(0)|=\frac 1n[/tex].
Pour étudier la convergence uniforme, tu dois bien étudier [tex]f_n-f[/tex], mais tu as deux expressions différentes suivant que [tex]x\in[0,1/n] [/tex] ou [tex]x\in[1/n,1] [/tex].
Hors ligne
#6 26-01-2015 13:08:12
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Mais dans ce cas là, je prends quelle fonction [tex]f[/tex] ?
Sur [tex][0,\dfrac{1}{n}][/tex], je prends [tex]f(x) = 0[/tex] et sur[tex] [\dfrac{1}{n},1][/tex] je prends [tex]f(x) = 1 -x[/tex] ?
Hors ligne
#9 27-01-2015 10:57:48
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
D'accord. Donc tu prends [tex]f(x)=0[/tex] si x=0, et [tex]f(x)=1-x[/tex] si x>0.
Mais si [tex]x\in[0,1/n] [/tex], il n'y a qu'en zéro que f(x)=0, ailleurs, cela vaudra f(x)=1-x.
Hors ligne
#11 28-01-2015 11:22:41
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Je ne sais pas comment te dire autrement que f(x), c'est f(x)!!!
Donc f(0)=0 et f(x)=1-x si x>0.
Ou pour ton problème, il faut découper en 3 cas :
* si x=0, [tex]f_n(0)=-\frac 1n,\ f(0)=0[/tex]
* si [tex]x\in ]0,1/n],\ f_n(x)=nx-\frac 1n,\ f(x)=1-x[/tex]
* si [tex]x\in ]1/n,1],\ f_n(x)=1-x,\ f(x)=1-x[/tex].
F.
Hors ligne
#12 28-01-2015 11:32:55
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Merci de ta réponse :)
donc du coup :
[tex]f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\
x - 1 & \text{si $x \in ]0,1/n]$}\\
0 & \text{si $x \in ]1/n,1]$}\end{matrix}\right.[/tex].
Au pire j'aurai pu simplement dire que [tex]f[/tex] n'étant pas continue sur [tex][0,1][/tex], la convergence n'est pas uniforme ?
Hors ligne
#13 28-01-2015 12:37:02
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Je ne suis pas d'accord pour [tex]f_n(x)-f(x)[/tex] si [tex] x\in ]0,1/n] [/tex] (ce n'est pas la bonne valeur pour [tex]f_n[/tex]).
Tu ne peux pas conclure que la suite ne converge pas uniformément parce que f n'est pas continue, car les [tex]f_n[/tex] ne sont pas non plus continues (en 1/n).
Hors ligne
#14 28-01-2015 12:50:53
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
Sur [tex]]0,1/n][/tex] : [tex]f_n(x) - f(x) = nx - \dfrac{1}{n} - (1 - x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n}-1[/tex] et comme [tex]n \to + \infty[/tex], on a [tex]f_n(x) - f(x) = + \infty[/tex] ?
Hors ligne
#15 28-01-2015 13:31:26
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
NONONONONONON!
Contente-toi d'appliquer la définition de la convergence uniforme.
Tu dois calculer [tex] \|f-f_n\|_\infty [/tex].
En 0, pas de problèmess.
Sur [1/n,1], pas de problèmes non plus.
Sur ]0,1/n[, il te reste à étudier la fonction [tex]g_n(x)=f_n(x)-f(x)[/tex] et à chercher ses extrema.
F.
Hors ligne
#16 29-01-2015 13:13:31
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Re : Convergence simple et uniforme (suites de fonctions)
En gros, si [tex]f_n(x) - f(x)[/tex] ne dépend pas de [tex]x[/tex], alors je dois faire sa limite quand [tex]n \to + \infty[/tex], et si il dépend de [tex]x[/tex] alors j'étudie ses extremas ?
Donc on a :
Si [tex]x = 0[/tex], [tex]f_n(x) - f(x) = 0[/tex].
Si [tex]x \in ]0,1/n], f_n(x) - f(x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n} - 1[/tex].
Si [tex]x \in ]1/n,1], f_n(x) - f(x) = 0[/tex].
Posons [tex]g_n(x) = f_n(x) - f(x)[/tex] lorsque [tex]x \in ]0,1/n][/tex].
[tex]g_n(x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n} - 1[/tex] et [tex]n + 1 > 0[/tex], donc [tex]g_n[/tex] est croissante et [tex]\sup_{x \in [0,1/n]} ||g_n|| = 1 \neq 0[/tex],
donc [tex]||f_n - f||_{\infty} = 1 \neq 0[/tex] et la convergence de [tex](f_n)[/tex] vers [tex]f[/tex] n'est pas uniforme ?
Hors ligne