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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- jimijims
- 31-01-2015 17:25:20
[tex]1 + 1/n > 1[/tex] et donc [tex]\neq 0[/tex]
Merci :)
- Fred
- 29-01-2015 21:51:58
Es-tu sûr que [tex]\sup_{x\in [0,1/n]}|g_n(x)|=1[/tex] ???
- jimijims
- 29-01-2015 13:13:31
En gros, si [tex]f_n(x) - f(x)[/tex] ne dépend pas de [tex]x[/tex], alors je dois faire sa limite quand [tex]n \to + \infty[/tex], et si il dépend de [tex]x[/tex] alors j'étudie ses extremas ?
Donc on a :
Si [tex]x = 0[/tex], [tex]f_n(x) - f(x) = 0[/tex].
Si [tex]x \in ]0,1/n], f_n(x) - f(x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n} - 1[/tex].
Si [tex]x \in ]1/n,1], f_n(x) - f(x) = 0[/tex].
Posons [tex]g_n(x) = f_n(x) - f(x)[/tex] lorsque [tex]x \in ]0,1/n][/tex].
[tex]g_n(x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n} - 1[/tex] et [tex]n + 1 > 0[/tex], donc [tex]g_n[/tex] est croissante et [tex]\sup_{x \in [0,1/n]} ||g_n|| = 1 \neq 0[/tex],
donc [tex]||f_n - f||_{\infty} = 1 \neq 0[/tex] et la convergence de [tex](f_n)[/tex] vers [tex]f[/tex] n'est pas uniforme ?
- Fred
- 28-01-2015 13:31:26
NONONONONONON!
Contente-toi d'appliquer la définition de la convergence uniforme.
Tu dois calculer [tex] \|f-f_n\|_\infty [/tex].
En 0, pas de problèmess.
Sur [1/n,1], pas de problèmes non plus.
Sur ]0,1/n[, il te reste à étudier la fonction [tex]g_n(x)=f_n(x)-f(x)[/tex] et à chercher ses extrema.
F.
- jimijims
- 28-01-2015 12:50:53
Sur [tex]]0,1/n][/tex] : [tex]f_n(x) - f(x) = nx - \dfrac{1}{n} - (1 - x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n}-1[/tex] et comme [tex]n \to + \infty[/tex], on a [tex]f_n(x) - f(x) = + \infty[/tex] ?
- Fred
- 28-01-2015 12:37:02
Je ne suis pas d'accord pour [tex]f_n(x)-f(x)[/tex] si [tex] x\in ]0,1/n] [/tex] (ce n'est pas la bonne valeur pour [tex]f_n[/tex]).
Tu ne peux pas conclure que la suite ne converge pas uniformément parce que f n'est pas continue, car les [tex]f_n[/tex] ne sont pas non plus continues (en 1/n).
- jimijims
- 28-01-2015 11:32:55
Merci de ta réponse :)
donc du coup :
[tex]f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\
x - 1 & \text{si $x \in ]0,1/n]$}\\
0 & \text{si $x \in ]1/n,1]$}\end{matrix}\right.[/tex].
Au pire j'aurai pu simplement dire que [tex]f[/tex] n'étant pas continue sur [tex][0,1][/tex], la convergence n'est pas uniforme ?
- Fred
- 28-01-2015 11:22:41
Je ne sais pas comment te dire autrement que f(x), c'est f(x)!!!
Donc f(0)=0 et f(x)=1-x si x>0.
Ou pour ton problème, il faut découper en 3 cas :
* si x=0, [tex]f_n(0)=-\frac 1n,\ f(0)=0[/tex]
* si [tex]x\in ]0,1/n],\ f_n(x)=nx-\frac 1n,\ f(x)=1-x[/tex]
* si [tex]x\in ]1/n,1],\ f_n(x)=1-x,\ f(x)=1-x[/tex].
F.
- jimijims
- 28-01-2015 09:49:16
Je suis pas sûr de comprendre...
Je dois prendre uniquement [tex]f(x) = 1 -x[/tex] ? Sur [tex][0,\dfrac{1}{n}][/tex] et sur [tex][\dfrac{1}{n},1][/tex] ?
- Fred
- 27-01-2015 10:57:48
D'accord. Donc tu prends [tex]f(x)=0[/tex] si x=0, et [tex]f(x)=1-x[/tex] si x>0.
Mais si [tex]x\in[0,1/n] [/tex], il n'y a qu'en zéro que f(x)=0, ailleurs, cela vaudra f(x)=1-x.
- jimijims
- 27-01-2015 10:26:28
Car pour moi il y a deux valeurs de [tex]f(x)[/tex] : si [tex]x=0[/tex] alors [tex]f(x) = 0[/tex] et si [tex]x>0[/tex] alors [tex]f(x) = 1 -x[/tex]
- Fred
- 26-01-2015 15:06:47
Non, tu prends f(x)=1-x partout! Pourquoi veux-tu changer de fonction?
- jimijims
- 26-01-2015 13:08:12
Mais dans ce cas là, je prends quelle fonction [tex]f[/tex] ?
Sur [tex][0,\dfrac{1}{n}][/tex], je prends [tex]f(x) = 0[/tex] et sur[tex] [\dfrac{1}{n},1][/tex] je prends [tex]f(x) = 1 -x[/tex] ?
- Fred
- 26-01-2015 12:44:28
Ah la non, je ne suis pas d'accord!
Si tu avais [tex]\|f_n-f\|_\infty=0[/tex] tu aurais [tex]f_n=f[/tex] ce qui n'est pas le cas.
Par exemple [tex]f_n(0)=-\frac 1n\neq f(0)[/tex] ce qui montre au passage que [tex]\|f_n-f\|_\infty\geq |f_n(0)-f(0)|=\frac 1n[/tex].
Pour étudier la convergence uniforme, tu dois bien étudier [tex]f_n-f[/tex], mais tu as deux expressions différentes suivant que [tex]x\in[0,1/n] [/tex] ou [tex]x\in[1/n,1] [/tex].
- jimijims
- 26-01-2015 11:53:29
[tex]f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}- \dfrac{1}{n} - 0 & \text{si $x = 0$}\\1 - x - (1- x) & \text{si $x > 0$}\end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\0 &\text{si $x > 0$}\end{matrix}\right.[/tex]
Donc [tex]|| f_n(x) - f(x)||_{\infty}= 0[/tex], donc [tex](f_n)[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex] sur [tex][0,1][/tex]