Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 21-02-2007 02:17:33
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Analyse réelle
Bonjour, j'aimerais avoir plus d'information sur les ensembles fermés et plus particulièrement, j'aimerais démontrer que l'ensemble des points d'accumulation d'un ensemble inclut dans R est un fermé. Merci de bien vouloir m'éclaircir a ce sujet.
Hors ligne
#2 21-02-2007 09:54:49
- Bob
- Invité
Re : Analyse réelle
C'est bien Caro tu dis bonjour et merci, t'auras peut-être une réponse !!! T'as pas une idée pour mon post sur les asymptotes obliques ??
Au fait "j'aimerai" c'est un futur y a pas de s au bout.
#3 21-02-2007 12:25:14
Re : Analyse réelle
Bonjour,
Bob :
Le fait que tu ne connaisses pas la politesse n'implique pas que les autres ne la connaisse pas non plus. Je ne vois pas en quoi le fait qu'elle soit polie est a signaler de la sorte.
De pus, fais un tour sur le forum et tu verras que très rares sont les questions non répondues et que 99% d'entre elles sont dues à l'impolitesse du demandeur.
Je ne pense pas que le "peut etre" ainsi utilisé soit aproprié.
Je te prierais par conséquent de ne pas user de cette ironie témoignant d'une personne vexée.
Je pense aussi que si elle voulait te répondre pour les asymptotes obliques, elle l'aurait fait sur ton post, il est inutile de brouiller son post à elle avec des post hors de propos.
Enfin, "j'aimeraiS" est une forme conditionnelle de politesse (décidémment tu as vraiment du mal avec ça...) et prend donc un S ; inutile donc de vouloir reprendre les gens (toujour la personne vexée), surtout quand leur forme est juste.
Ceci est le dernier avertissement, j'espère que tu prendras rapidement conscience que les forums doivent respecter certaines règles de courtoisie principalement.
A++
Caroline254 : j'essaye de regarder pour ton problème, je te tiendrai au courant du résultat si personne n'intervient d'ici la.
Hors ligne
#4 21-02-2007 17:58:01
- Bob
- Invité
Re : Analyse réelle
Pour le conditionnel j'expie !
#5 21-02-2007 22:12:50
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Analyse réelle
Bonjour,
Voici quelques éléments de réponse :
Soit A l'ensemble de départ, E l'ensemble de ses points d'accumulation.
Supposons que E ne soit pas fermé.
Alors il existe une suite (u_n) de E qui converge vers l, l n'appartenant pas à E.
Ainsi, l n'est pas point d'accumulation de A, ce qui signifie
qu'il existe un réel a>0 tel que [l-a,l+a] ne rencontre A qu'en au plus un point (à savoir l).
Maintenant, puisque (u_n) tend vers l, on peut trouver un n tel que
u_n appartient à [l-a/2,l+a/2].
Puisque ce u_n est élément de E, donc point d'accumulation de A,
il existe une infinité d'éléments de A dans l'intervalle [u_n-a/2,u_n+a/2].
Mais cet intervalle est contenu dans [l-a,l+a], ce qui contredit ce qui est écrit
quelques lignes plus haut.
A+
Fred.
Hors ligne
#6 21-02-2007 22:22:34
- john
- Membre actif
- Inscription : 10-02-2007
- Messages : 543
Re : Analyse réelle
Bonsoir,
j'avance tout ce qui suit sans certitude...
Th. : Dans un espace métrique, la fermeture d'un ensemble E est obtenue par union de E et de l'ensemble de ses points d'accumulation.
Sélectionner les points d'accumulation d'un ensemble X de R revient à éliminer tous les points isolés contenus dans X. L'ensemble A obtenu (points d'accumulation de X) ne contient donc que des points d'accumulation. Pour obtenir la fermeture de A, il suffit d'ajouter à A ses propres points d'accumulation. Or ces derniers sont déjà tous dans A. Donc A est sa propre fermeture.
Il faut traduire tout ceci avec des boules B(x,r)... |x - y| < r... et ça doit passer.
Merci Fred de bien vouloir corriger...
A+
Bon, croisement de messages. Je vais essayer de digérer le post précédent.
Dernière modification par john (21-02-2007 22:26:59)
Hors ligne
#7 21-02-2007 22:35:58
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Analyse réelle
Salut John,
Ta formulation est un peu dangeureuse....
L'ensemble A obtenu peut contenir des points isolés (pour lui-même)
mais qui sont des points d'accumulation de l'ensemble de départ.
Prenons X={1/n(1+1/m),n,m>=1}. Il est assez facile
de voir que l'ensemble des points d'accumulation de X est A={0}U{1/n,n>=1}.
Maintenant, dans A, il y a beaucoup de points isolés, seul 0 ne l'est pas.
Prendre une partie K=K_0, considérer l'ensemble K_1 de ses points d'accumulation,
prendre les points d'accumulation de K_1 et définir K_2, etc...
s'appelle dériver un ensemble.
Fred.
Hors ligne
#9 21-02-2007 22:58:00
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Merci beaucoup. Ça m'a beaucoup éclairé au sujet des points d'accumulation, je n'avais meme pas pensé d'y aller par l'absurde, c'est tres clair et simple. J'ai maintenant tout les élements pour répondre a mon probleme.
Hors ligne
#10 22-02-2007 22:40:54
- john
- Membre actif
- Inscription : 10-02-2007
- Messages : 543
Re : Analyse réelle
Même chose pour moi. Mais pardon Caroline d'avoir parasité ton post. Je m'intéresse depuis peu à la topo en autodidacte et je n'ai pas pu résister...
Finalement les math. c'est comme la montagne (sauf qu'il n'y a pas de sommet), c'est plus facile quand il y a quelqu'un devant qui tire sur la corde. Encore merci Fred.
A+
Hors ligne
#11 23-02-2007 00:22:42
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Ahah, j'aime bien ta comparaison John. J'aurais une autre question. J'aimerais montrer que l'union de 'n' ensemble fermés est un fermé mais je ne suis pas tout a fait sur de ma reponse. Je veux montrer tout d'abord que l'union de deux fermés est fermé et ensuite y aller par récurrence pour l'union de mes 'n' ensemble. Cependant, je ne sais pas trop si ma preuve est bonne. Je sais pourquoi deux ensemble d'ouverts sont ouverts mais je n'arrive pas a etre sur que c'est la meme démo pour les fermés. Je vous la montre.
Si Fi est un fermé alors le complementaire de Fi est ouvert ce qui implique que le complementaire de l'union de mes n ensemble Fi est égale a l'intersection de mes n ensembles Fi complementaire qui est un ouvert comme intersection finie d'ouvert alors l'union de mes Fi est un fermé. Cependant, je dois montrer aussi pourquoi l'intersection d'ouvert est un ouvert et je trouve ma preuve un peu longue. Je me demandais si je pouvais passer par une autre preuve pour montrer tout simplement que l'union finie de fermés est fermée.
Hors ligne
#13 23-02-2007 22:28:56
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Salut,
J'ai quelques questions encore. Soit E un sous ensemble de R. On pose A = {x+y | y est element de E}, l'ensemble translaté par x. Montrer que A est ouvert si est seulement si E est ouvert et montrer que A est compact si et seulement si E est compact.
Pour ce qui est d'ensembles ouverts, puisque j'ajoute x a tous les éléments de de E pour obtenir A, il est clair que si le voisinage d'un élément de E est inclut dans E ce le sera pour A. Je veux montrer que c'est vrai dans les 2 sens mais je n'arrive pas a etre certaine de ce que je fais. Merci de vouloi m'éclaircir a ce sujet.
Hors ligne
#15 23-02-2007 23:44:11
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Merci, je reposte lorsque j'ai d'autres questions, ca ne tardera pas ;)
Hors ligne
#16 26-02-2007 17:45:51
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Soit E un sous ensemble de R. On pose A = {x+y | y est element de E}, l'ensemble translat¨¦ par x. Montrer que A est ouvert si est seulement si E est ouvert. En suivant ton conseil Fred, je fais ma preuve.
(==>) Si A est ouvert --> A= Int(A) --> Pour tout (x+y) ¨¦l¨¦ments de A il existe ¦Ä>0 tel que ](x+y)-¦Ä,(x+y)+¦Ä[ est inclut dans A --> ](y)-¦Ä,(y)+¦Ä[ est inclut dans A-x pour tout x ¨¦lement de A-x et A-x =E donc E est ouvert.
(<==) Si E est ouvert --> E= Int(E) --> Pour tout y ¨¦l¨¦ments de E il existe ¦Ä>0 tel que ]y-¦Ä,y+¦Ä[ est inclut dans E --> ](y+x)-¦Ä,(y+x)+¦Ä[ est inclut dans E+x pour tout (x+y)¨¦lement de E+x et E+x =A donc A est ouvert.
Ma preuve me semble un peu boiteuse car je n'ai aucune id¨¦e si j'ai le droit d'¨¦crire ca dans mes intervalles (retirer des x et ajouter des x). Si quelqu'un peu repondre a ma question car j'ai l'intention de prouver que si l'un est compact, l'autre aussi et je pense utiliser la meme m¨¦thode. Merci.
Hors ligne
#17 26-02-2007 17:50:06
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
¨¦l¨¦ments = element de
¦Ä>0 = delta plus grand que 0
Si vous le voyez posté comme moi...... Comment fait-on pour ajouter tous ces symboles mathématiques comme je vois dans d'autres posts parfois?
Hors ligne
#18 26-02-2007 19:00:46
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Analyse réelle
Bonsoir Caroline254,
C'est un langage spécifique : du Latex...
Pour en savoir plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
Dans ce Forum, toute écriture mathématique en latex, est insérée entre deux "balises" l'une ouvrante : <tex> l'autre fermante : </tex> mais où < et > sont remplacés par les crochets [ et ].
AInsi :
[tex]\int_0^\pi e^{-x}cos x dx[/tex]
n'est rien d'autre que l'expression \int_0^\pi e^{-x}cos x dx coincée entre les deux balises citées ci-dessus...
Il faut bien dire que c'est un peu "douloureux" au début (surtout avec des fractions un peu compliquées) quand on est habitué au WYSiWYG des traitements de textes...
Ca te va, comme réponse ?
@+
Hors ligne
#20 27-02-2007 01:04:09
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Soit E un sous ensemble de R. On pose A = {x+y | y est element de E}, l'ensemble translaté par x. Montrer que A est compact si et seulement si E est compact.
Je veux montrer pour cela reste fermé. Je comprend que cela n'est seulement qu'une question de voisinage. Algébriquement, comment feriez-vous?
Hors ligne
#22 27-02-2007 19:04:40
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Salut, Merci beaucoup pour la piste, ca fontionne tres bien pour ce numero.
Derniere question sur la Topologie. J'aimerais savoir votre définition d'adhérence. Je dois montrer que Si A est inclus dans B alors l'adhérence de A est inclus dans B. En faisant un dessin c'est tres évident, je sais que l'adhérence = Fr(A) + Int(A) mais encore la l'expliquer algébriquement, j'ai un peu de difficulté. J'aimerais aussi montrer que l'adhérence de (A union B) = (d'adhérence de A) Union (l'adhérence de B). Pour ce dernier, je n'ai vraiment aucune idée, je crois ne pas être tres informée sur les propriétés de l'adhérence. Merci de bien vouloir m'aider.
Hors ligne
#23 27-02-2007 21:52:57
- Véro!
- Invité
Re : Analyse réelle
Salut,
Deux définitions (ou caractérisations) standard pour l'adhérence de A :
1. Le plus petit fermé qui contient A.
2. L'ensemble des points qui sont limite d'éléments de A.
Pour ce genre d'exos, 2.est le plus utile.
Ex : adh(A union B)inclus adh(A) union adh(B).
Soit l un point de adh(A union B). Il existe une suite (u_n) de AUB qui converge vers l.
Cette suite (u_n) contient un nombre infini de points de A ou bien un nombre infini de points de B.
Si on est dans le premier cas, on peut extraire de (u_n) une suite (v_n) d'éléments qui ne sont que dans
A. Bien sûr, (v_n) converge vers l, et donc l est élément de adh(A)union adh(B).
etc....
Véro.
#24 27-02-2007 22:17:21
- Caroline254
- Membre
- Inscription : 21-02-2007
- Messages : 26
Re : Analyse réelle
Ma définition de d'adhérence: Soit x un point adhérent de A alors V(x,delta)union A n'est pas vide. LA notion de convergence, je ne suis pas sur de comprendre.
Hors ligne
#25 28-02-2007 12:47:51
- john
- Membre actif
- Inscription : 10-02-2007
- Messages : 543
Re : Analyse réelle
hello Caro,
Attention dans ta définition, c'est intersection et non union (voir Dico à http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ence.html)
J'avoue avoir du mal à comprendre aussi la suite :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ation.html
Pour ce que je crois avoir capté, la convergence de la suite vers l (l comme limite), ça veut dire simplement que dans A, on peut s'approcher d'aussi près qu'on le veut de tout point de adh(A), et c'est parfaitement compréhensible pour un point d'accumulation.
Mais, un point isolé dans A ne peut pas être approché d'aussi près qu'on veut. En effet, quand la boule devient très petite, le point isolé se retrouve évidemment seul. Or c'est un point d'adhérence de A. Si bien que je me demande s'il n'y a pas eu une petite permutation dans ces 2 liens.
Il faudra qu'un jour Fred prenne le temps de nous expliquer...
A+
Hors ligne