Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hectors

Membre

Inscription : 29-12-2013

Messages : 31

Calcul d'une limsup

Bonjour.

On raisonne [tex]\forall n \in   \mathbb{N}^*[/tex]

Je sais que limsup [tex](\frac{1 }{n})^{(\frac{1 }{n} )}[/tex] vaut 1 (ça je le comprend, car le sup de cette suite est atteint pour n=1)

Mais dans mon cours, il est dit que limsup de [tex](\frac{1 }{n^n})^{(\frac{1 }{n} )}[/tex] vaut 0 (ça je ne le comprends pas, d'après moi le sup  de cette suite est atteint pour n=1, et vaudrait encore 1)

Pourriez-vous m'éclairer, s'il vous plait?

( J'espère ne pas trop vous harceler, je vous pose des questions seulement après avoir cherché)

Merci pour votre aide, en général.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Calcul d'une limsup

Salut,

Je laisse à d'autres le soin de t'expliquer ça : je ne connais pas le terme "limsup" (LateX, si)...
A tout hasard, voici les 20 premières valeurs obtenues avec Python et 3 chiffres après la virgule :
1.000 0.500 0.333 0.250 0.200 0.167 0.143 0.125 0.111 0.100 0.091 0.083 0.077 0.071 0.067 0.062 0.059 0.056 0.053 0.050
J'en conclus que, probablement, [tex]\lim_{n \,\mapsto\, +\infty}\left(\frac{1}{n^n}\right)^{\frac 1 n} = 0[/tex]...

@+

[EDIT]
Et, sauf erreur comme dirait freddy, [tex]\left(\frac{1}{n^n}\right)^{\frac 1 n} = \left(\left(\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac 1 n}=\left(\frac{1}{n}\right)^{n \times \frac 1  n} = \frac 1 n[/tex] et  [tex]\frac 1 n \leqslant \left(\frac 1 n\right)^{\frac 1 n}[/tex]
ça ne m'avait pas frappé !
J'ai vu la définition de la limsup dans Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Limites_in … 3%A9rieure, alors  je pourrais donner une démonstration sur la base de ce que je viens d'écrire, mais je marcherais (trop !) sur des œufs, tu trouveras sûrement quelqu'un dont c'est - vraiment - dans les cordes, ou toi-même bien sûr...
Donc je m'abstiens et je la garde pour moi...

Dico

Membre

Inscription : 12-12-2009

Messages : 120

Re : Calcul d'une limsup

Salut !
Dans ce cas, la limite existe et est donc égale à la limite sup et vaut 0 comme yoshi l'a montré

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Calcul d'une limsup

Bonsoir,;

Je ne pense pas avoir démontré, quoi que ce soit, hélas ! Du coup la formulation de Dico est un peu courte...
En outre, j'avais pensé qu'il fallait s'appuyer sur la définition trouvée sur le Wiki. Personnellement, je suis donc loin d'être satisfait.

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Calcul d'une limsup

Salut,

@hectors : non, il ne suffit pas de regarder les premiers termes, il faut justement s'intéresser à [tex]n[/tex] quand il devient de plus en plus grand. Donc ton intuition t'égare.

@yoshi : ton lien est roboratif : on construit deux sous-suites extraites de la suite concernée et on regarde comment elles se comportent. Le cas type est la suite [tex]u_n=(-1)^n[/tex] qui ni ne converge, ni ne diverge ...

@Dico : ben oui, puisque la suite converge, le lien de yoshi montre (propriété) que "les lim sup et inf sont égales si et seulement si la suite est convergente et dans ce das, les lim sup et inf sont égales à la limite de la suite". Donc c'est bien 0.

Fred le confirmera, mais en analyse, comme dans d'autres branches, on va du particulier au général. Par exemple, on connait bien la notion de fonction continue. Mais pour des besoins techniques, la continuité a été élargie à la notion de fonction semi-continue supérieurement où inférieurement, puis, de façon encore plus globale, hemi-continue supérieurement et inférieurement. Ça permet d'assouplir des hypothèses d'utilisation de théorèmes très utiles en analyse, comme par exemple des théorèmes de point fixe.

Je parle toujours sous le contrôle de Fred, mais une partie du boulot des mathématiciens est d'assouplir les hypothèses d'application d'importants théorèmes, de voir sous quelles conditions ils sont généralisables.

Et une autre partie du boulot des mathématiciens est de construire des concepts de mieux en mieux manipulables de certaines branches des mathématiques pour en définir une algèbre de la branche. Je pense en particulier à la topologie générale, la topologie différentielle et la topologie algébrique.

Bon, on s'éloigne du sujet ...

Dernière modification par freddy (24-06-2014 11:33:13)

Dico

Membre

Inscription : 12-12-2009

Messages : 120

Re : Calcul d'une limsup

Bonjour
yoshi est encore allé pythonner, mais comme il l'a pensé, dans mon post précédent quand je parle de preuve, je ne fais pas référence à ses résultats de python. Non, je parle de ce qui vient après le @+.

Dernière modification par Dico (22-06-2014 07:07:39)

hectors

Membre

Inscription : 29-12-2013

Messages : 31

Re : Calcul d'une limsup

On a donc

[tex]\left(\frac{1}{n^n}\right)^{\frac 1 n}  = \frac 1 n[/tex]

Mais sup ([tex] \frac 1 n[/tex]) =1 et donc limsup [tex]\left(\frac{1}{n^n}\right)^{\frac 1 n}[/tex] =1

Je ne comprends toujours pas, y'a t-il une erreur dans mon raisonnement? (Pour tout n (entier naturel) différent de 0)

PS: Pour trouver lim sup, on cherche d'abord le sup, puis on fait tendre f vers plus l'infini. Donc comme ici le sup ne dépend pas de n (il vaut 1, faire tendre le sup vers l'infini ne devrait rien changer si?

Dernière modification par hectors (23-06-2014 09:47:31)

Choukos

Membre

Inscription : 26-12-2010

Messages : 148

Site Web

Re : Calcul d'une limsup

Salut !
C'est pas la limite du sup sur tous les entiers mais seulement la limite (lorsque n tend vers l'infini) du sup sur tous les entiers plus grands que n.

hectors

Membre

Inscription : 29-12-2013

Messages : 31

Re : Calcul d'une limsup

Merci pour ta réponse Choukos.

Mais dans ce cas, pourquoi alors limsup ( [tex] \frac 1 n[/tex])  vaut 1, c'est ce qu'il y a marqué dans mon cours, sans justification. Selon cette définition, cela devrait valoir zéro non? Quelque-chose d'important m'échappe, et j'arrive pas à savoir quoi.

D'ailleurs, puisque [tex]\left(\frac{1}{n^n}\right)^{\frac 1 n}  = \frac 1 n[/tex] , comme Yoshi l'a montré, leur limsup devrait être égale non? Je suis totalement perdu.

Dernière modification par hectors (23-06-2014 10:11:31)

Choukos

Membre

Inscription : 26-12-2010

Messages : 148

Site Web

Re : Calcul d'une limsup

Salut,
Oui selon la définition ça devrait valoir 0, de plus comme tu le dis, l'égalité de Yoshi complétée par Freddy donne un second argument... C'est peut être une coquille de la part de ton prof, demande lui ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Calcul d'une limsup

Salut,

Je crois bien que j'ai ta réponse (en anglais !)
.
Voilà quelqu'un qui se débattait avec la même problématique que toi :
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=92282
Bonne lecture !

@+

Dico

Membre

Inscription : 12-12-2009

Messages : 120

Re : Calcul d'une limsup

On contourne le fait que toute suite bornée n'est pas convergente en définissant les limites sup et inf.
Toute suite bornée admet des limites sup et inf finies.

En gros, la limite sup est le inf des sup et la limite inf est le sup des inf.

Précisément. soit [tex](u_n)[/tex] une suite bornée.
On définit les suites [tex]v_p=\sup\{u_n; n\geq p\}[/tex] et [tex]w_p=\inf\{u_n; n\geq p\}[/tex].
Alors, il est évident que [tex](v_p)[/tex] est décroissante et minorée et [tex](w_p)[/tex] est croissante et majorée. Donc, ces deux suites convergent.

Définition:
[tex]\limsup(u_n)=\lim_{p\to\infty}v_p=\inf(v_p)[/tex]
[tex]\liminf(u_n)=\lim_{p\to\infty}w_p=\sup(w_p)[/tex]

Proposition:
1-) limsup est la plus grande valeur d'adhérence de la suite et liminf est sa plus petite valeur d'adhérence.
2-) Si (u_n) converge, alors, [tex]\limsup=\liminf=\lim(u_n)[/tex]

Remarque:
limsup (resp liminf) n'est en générale pas le sup (resp le inf) du support de la suite.

Dernière modification par Dico (23-06-2014 23:39:59)

hectors

Membre

Inscription : 29-12-2013

Messages : 31

Re : Calcul d'une limsup

Merci à tous ! (même si le cas particulier vu plus haut m'échappe toujours, puisque les deux suites sont égales, et que le prof en a fait tout un pataquès dans son cours, donc un peu gros pour une coquille...)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Calcul d'une limsup

Merci à tous ! (même si le cas particulier vu plus haut m'échappe toujours, puisque les deux suites sont égales, et que le prof en a fait tout un pataquès dans son cours, donc un peu gros pour une coquille...)

Salut l'ami !
je te propose de méditer cette phrase de Coluche, humoriste - caricaturiste - observateur engagé critique de tout et de tous - comédien comique ou tragique à ses heures perdues et ex futur président de la république - trop tôt disparu. Coluche disait qu'en règle générale, les gens estimaient qu'ils avaient toujours assez d'intelligence, vu que c'était avec ce qu'ils avaient qu'ils la mesuraient.
Perso, je trouve qu'il m'en manque beaucoup, parce qu'il y a encore trop de choses que je n'arrive pas à comprendre, même en m'acharnant nuit et jour dessus. Y'a un moment, faut accepter d'être dépassé. Mais ce qui est sûr est qu'avant de me dire qu'un prof s'était trompé, je peux te dire que je veillais à cranter ma démonstration, jusqu'à découvrir, preuve à l'appui, que le lapin crétin, ben c'était finalement plus moi que lui ...

A te revoir !

Dernière modification par freddy (25-06-2014 21:57:32)

Choukos

Membre

Inscription : 26-12-2010

Messages : 148

Site Web

Re : Calcul d'une limsup

Salut,
Je suis tout à fait d'accord avec freddy sur le fait qu'il vaut mieux retourner 7 fois sa langue dans sa bouche avant de contredire un enseignant. Toutefois ici je pense qu'il est tout à fait légitime que tu lui demandes plus de détails sur ce sujet, tu as réfléchis dessus, tu as un résultat a priori contradictoire par rapport au sien, tu as re-réfléchis dessus. Définitivement tu dois l'interroger !
Et on sera au moins deux à attendre sa réponse, je suis tout aussi perplexe que toi.

Dico

Membre

Inscription : 12-12-2009

Messages : 120

Re : Calcul d'une limsup

C'est vrai Choukos, souvent après avoir réfléchi et re-réfléchi comme tu dit, on souhaite interroger le prof pour ce qu'on pend pour une erreur ou pire une faute dans son cours.

J'ai moi même souvent en tant que prof vécu cette situation. Le problème, c'est la manière avec laquelle l'apprenant vous approche. Il est sûr d'avoir raison et que vous avez fait une faute. Pire, que vous ne comprenez pas ce que vous enseignez. Dans la plupart des cas, il était manifeste que ledit apprenant ce trompais. En général, je préfère arrêter la discussion et le laisser dans son erreur.

Un scientifique doit toujours avoir beaucoup de réserves et reconnaître même après avoir vérifié plusieurs fois ses calculs, qu'il est toujours possible qu'il se trompe. La grandeur ce n'est pas d'avoir raison, mais de reconnaître qu'on à tort.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Calcul d'une limsup

Salut les philosophes,

Il me semblait pourtant que mon dernier sur limsup(Un=1/n) était clair et que Dico s'était fendu d'un éclaircissement...
Hectors, pourquoi lâcher prise ?

C'est vrai Choukos, souvent après avoir réfléchi et re-réfléchi comme tu dit, on souhaite interroger le prof pour ce qu'on pend pour une erreur ou pire une faute dans son cours.

J'ajoute que c'est même indispensable.
Mes élèves avaient comme consigne de me harceler jusqu'à ce qu'ils obtiennent une réponse satisfaisante (pour eux).
Je prévenais aussi charitablement, qu'à la 10e fois consécutive, ils devraient se mettre à l'abri et laisser passer l'orage et que l'orage passé, ils veuillent bien reposer leur question une 11e fois.
Nul n'est à l'abri d'une erreur :
Errare humanum est
mais on oublie un peu trop souvent la 2e partie :
sed perseverare diabolicum... !
Tout apprenant doit être informé que l'appreneur n'est qu'un être humain et, comme tel, faillible... mais que le taux d'erreur reste quand même marginal !

Apprenant, appreneur : vocabulaire de feue (morte-née) la réforme Legrand d'il y a autour de 30 ans.

@+

Dico

Membre

Inscription : 12-12-2009

Messages : 120

Re : Calcul d'une limsup

@yoshi. Avez-vous déjà subi l'acharnement d'un apprenant qui est sûr (alors qu'il se trompe) d'avoir raison et refuse d’entendre raison ? Que faites-vous ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Calcul d'une limsup

@yoshi. Avez-vous déjà subi l'acharnement d'un apprenant qui est sûr (alors qu'il se trompe) d'avoir raison et refuse d’entendre raison ? Que faites-vous ?

Salut,
pour moi, il ne peut y avoir de mésentente de cette nature, puisque la discipline mathématique se prouve d'ele même. Donc la bonne méthode est de mener l'élève à se contredire, puisqu'il se trompe.

Le problème dans ce genre de comportement est quand les deux s'entêtent. Le truc est de dire : OK, on suppose que vous avez raison et on déroule les conséquences logiques. A un moment donné, on tombe sur une incohérence logique qui montre à l'élève son erreur. Il faut savoir rester humble et simple, et mettre tout son orgueil de prof dans sa poche. La vérité ne sera que plus éclatante !

Bien entendu, cela suppose qu'on ait bien détecté l'origine de l'incompréhension de l'élève pour bien le conduire devant son inconséquence.
A la fin des fins, las, comme on ne peut jamais arriver à faire boire un âne qui n'a pas soif, faut laisser les gens aller dans le mur ...

Dernière modification par freddy (27-06-2014 12:01:44)

hectors

Membre

Inscription : 29-12-2013

Messages : 31

Re : Calcul d'une limsup

@feddy:  Je me suis peut-être mal exprimé, car quand j'ai dit "un peu gros pour une coquille" ça voulait justement dire que ça m'aurait étonné que ce soit une erreur du professeur. Et effectivement, l'erreur venait de ma mauvaise lecture.

En tout cas encore merci à tous, après avoir relu à tête reposé tout est très clair !

Dernière modification par hectors (15-07-2014 18:26:45)