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#1 04-05-2014 23:01:37
- dh8
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convolution
Bonsoir,
je suis complètement perdue. J'ai lu plusieurs cours et je n'arrive toujours pas à éclaircir les choses correctement.
Comment calculer le produit de convolution entre deux distributions [tex]T[/tex] et [tex]$S$[/tex] (en admettant que celui ci existe bien)?
Comment calculer le produit de convolution entre une distribution [tex]T[/tex] et une fonction [tex]\varphi \in C^{\infty}[/tex]?
Exemple: calculer [tex]\delta_a * \delta_b[/tex] et [tex]\delta'*H[/tex]
où [tex]\delta[/tex] est la distribution de Dirac en 0, et est la fonction de Heaveaside.
Merci de m'aider à comprendre ces trois points, ca m'aidera beaucoup à me lancer.
Cordialement.
Dernière modification par dh8 (04-05-2014 23:06:11)
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#5 06-05-2014 19:10:13
- Dico
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Re : convolution
Ok, ta question m'a poussé à aller lire la page de wikipedia. En fait pour la translation, je n'utilise pas la même définition que wiki.
Pour moi: [tex]\tau_a\varphi)(x)=\varphi(x-a)[/tex] et [tex]<\tau_aT,\varphi)>=<T,\tau_a\varphi)>[/tex]
Au niveau du produit de convolution d'une distribution et une fonction test, il n'y a pas de problème, c'est bien la fonction:
[tex](T\star \varphi)(x)=<T(y), \varphi(x-y)>[/tex]
Si on applique ça à delta: [tex](\delta_a\star \varphi)(x)=<\delta_a(y), \varphi(x-y)>=\varphi(x-a)=\tau_a\varphi(x)[/tex]
On a donc [tex]\delta_a\star \varphi=\tau_a\varphi[/tex] .
Pour le produit de convolution de deux distributions.
[tex]<T\star S, \varphi>=<T, \tilde S\star\varphi>=<T, S\star\tilde\varphi>=<T(x), <S(y),\varphi(x+y)>>[/tex]
Ainsi: [tex]<T\star\delta_a, \varphi>=<T(x), < \delta_a(y),\varphi(x+y)>>=<T(x),\varphi(x+a)>=<T,\tau_{-a}\varphi>=<\tau_{-a}T,\varphi>[/tex]
Donc [tex]T\star\delta_a=\tau_{-a}T[/tex]
En particulier: [tex]\delta_a\star\delta_b=\tau_{-a}\delta_b=\delta_{a+b}[/tex]
Aussi: [tex]\delta'\star H=\delta\star H'=\tau_{-0}H'=\delta[/tex]
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