Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ok, ta question m'a poussé à aller lire la page de wikipedia. En fait pour la translation, je n'utilise pas la même définition que wiki.
Pour moi:  [tex]\tau_a\varphi)(x)=\varphi(x-a)[/tex] et [tex]<\tau_aT,\varphi)>=<T,\tau_a\varphi)>[/tex]
Au niveau du produit de convolution d'une distribution et une fonction test, il n'y a pas de problème, c'est bien la fonction:
[tex](T\star \varphi)(x)=<T(y), \varphi(x-y)>[/tex]

Si on applique ça à delta: [tex](\delta_a\star \varphi)(x)=<\delta_a(y), \varphi(x-y)>=\varphi(x-a)=\tau_a\varphi(x)[/tex]

On a donc   [tex]\delta_a\star \varphi=\tau_a\varphi[/tex] .

Pour le produit de convolution de deux distributions.
[tex]<T\star S, \varphi>=<T, \tilde S\star\varphi>=<T,  S\star\tilde\varphi>=<T(x), <S(y),\varphi(x+y)>>[/tex]

Ainsi: [tex]<T\star\delta_a, \varphi>=<T(x), < \delta_a(y),\varphi(x+y)>>=<T(x),\varphi(x+a)>=<T,\tau_{-a}\varphi>=<\tau_{-a}T,\varphi>[/tex]
Donc  [tex]T\star\delta_a=\tau_{-a}T[/tex]

En particulier: [tex]\delta_a\star\delta_b=\tau_{-a}\delta_b=\delta_{a+b}[/tex]
Aussi: [tex]\delta'\star H=\delta\star H'=\tau_{-0}H'=\delta[/tex]

Salut
d'après la définition de wiki, [tex]T * \delta_b=\tau_b T[/tex], comment as-tu trouvé ce résultat? Je veux dire, est-ce que tu peux donner plus de détails sur les étapes suivies dans ton calcul?
Merci par avance.

Bonsoir,
je suis complètement perdue. J'ai lu plusieurs cours et je n'arrive toujours pas à éclaircir les choses correctement.
Comment calculer le produit de convolution entre deux distributions [tex]T[/tex] et [tex]$S$[/tex] (en admettant que celui ci existe bien)?
Comment calculer le produit de convolution entre une distribution [tex]T[/tex] et une fonction [tex]\varphi \in C^{\infty}[/tex]?
Exemple: calculer [tex]\delta_a * \delta_b[/tex] et [tex]\delta'*H[/tex]

où [tex]\delta[/tex] est la distribution de Dirac en 0, et  est la fonction de Heaveaside.

Merci de m'aider à comprendre ces trois points, ca m'aidera beaucoup à me lancer.
Cordialement.