Forum de mathématiques - Bibm@th.net

totomm

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A bonnes distances

Bonjour,

Pouvez-vous trouver dans le plan (euclidien) 7 points, non alignés (aucune droite ne passe par trois d'entre eux) tels que les distances entre deux points soient toutes des nombres entiers ?

nerosson

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Re : A bonnes distances

Salut à tous,

▼ mon absence de solution

J'ai pas la solution (si je l' avais, tout le monde en serait sur le cul et Freddy ferait un "nervous breakdown", comme aurait dit le tant regretté Michel Audiard), mais si j'essayais (j'ai la flemme), je ferais peut-être des cercles concentriques autour d'un point, puis j'en ferais autour d'un point pris sur l'un des cercles et puis... et puis je ne sais pas !

Autre chose : est-ce qu'on ne pourrait pas juxtaposer des triangles rectangles 3x4x5 ?

Vous allez penser : "quelle prétention de mettre ça sous spoiler : ça n'a aucun intérêt ! ! !". Je me retire sur la pointe des pieds.

"Qu'allait-il faire sur cette galère" commme disait, je crois, Harpagon.

Dernière modification par nerosson (29-11-2013 15:18:08)

totomm

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Re : A bonnes distances

Bonsoir,

▼commentaire pour nerosson

L'idée est si naturelle que chacun commence de cette façon et …:"Persévérer peut ne pas être une erreur".

Où est la difficulté ? Sans doute dans le fait que les Entiers et les Rationnels ne sont que dénombrables alors que les réels sont bien plus nombreux. Mais il faut leur faire confiance, ils savent nous placer exactement comme il faut !

Une solution ne demande pas plus que le niveau collège-Lycée (il y a des problèmes très difficiles, même avec ce niveau scolaire !)
J'aurais pu dire 8, 9, 10, 11 ou 50 points ou plus…

Merci d'avoir posté votre tentative : totomm

Yassine

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Re : A bonnes distances

Salut à tous,
De retour parmi vous après une petite période d'absence.
Tentative de réponse :

▼Réponse un peu laborieuse (piquée à nerosson)

Sur un cercle de rayon [tex]R[/tex], la distance [tex]d[/tex] entre deux points faisant un angle [tex]\theta[/tex] vérifie (loi des sinus) [tex]\frac{d}{sin \theta}=\frac{R}{sin \frac{1}{2}(\pi - \theta)}[/tex], soit [tex]d=2.R.sin \frac{\theta}{2}[/tex]. On voit que la condition que [tex]d[/tex] soit entier peut être remplacée par [tex]d[/tex] rationnel, dans la mesure où on pourra toujours choisir [tex]R[/tex] de manière à ce que toutes les distances considérées soit entières. On suppose donc dans la suite [tex]R=1[/tex].
cela revient donc à trouver des angles  [tex]{\theta_1,...\theta_6}[/tex] tels que [tex]sin \frac{\theta_i}{2}[/tex] et [tex]sin \frac{2\pi - \Sigma \theta_i}{2}[/tex] soient rationnels. On peut se restreindre au même [tex]\theta[/tex], il faut donc avoir [tex]sin \frac{\theta}{2}\in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]sin \frac{2\pi - 6.\theta}{2}=sin 6.\frac{\theta}{2} \in \mathbb{Q}[/tex]. En choisissant [tex]q \in \mathbb{Q},q < 1[/tex] tel que [tex]\sqrt{1-q^2}\in \mathbb{Q}[/tex], on peut alors garantir que l'angle [tex]\theta=2.arcsin(q)[/tex] vérifie [tex]sin \frac{\theta}{2}\in\mathbb{Q}, cos \frac{\theta}{2}\in\mathbb{Q}[/tex]. Donc, tout les [tex]sin (n.\frac{\theta}{2})[/tex] seront également rationnels (moivre). Le choix de [tex]q[/tex] doit également permettre que [tex]6.\theta < 2\pi[/tex] ([tex]q[/tex] suffisamment petit). [tex]q[/tex] sera choisi comme une fraction [tex]\frac{a}{b}[/tex] où [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont deux entiers d'un triplet Pythagoricien tq [tex]b^2=a^2+c^2[/tex].

totomm

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Re : A bonnes distances

Bonjour,

@yassine : Vous êtes sur la bonne voie. J'avais préparé ce petit laïus qui recoupe une bonne partie de votre intervention :

La solution est donnée sur la toile, je n'ai donc aucun mérite à donner cette solution pour un problème qui fut quelque peu polémiqué sur ce Forum :

Traçons un cercle unité et deux points A et B d'arguments (complexes) a et b.
La distance d entre A et B est 2|sin(a/2 – b/2)| (calcul de niveau lycée)

Si l'on choisit un angle a/4 tel que t=tan(a/4) soit rationnel et b comme angle multiple quelconque de a, les lignes trigonométriques qui entrent dans le calcul de d s'expriment en nombres rationnels : donc d est rationnel

On peut donc construire ainsi, à partir de t rationnel autant de points que demandés sur le cercle unité dont les distances 2 à 2 sont rationnelles
Multipliant ces distances par le Plus Petit Commun Multiple des dénominateurs donne un ensemble de points dont les distances 2 à 2 sont des nombres entiers.

Ces points sont non alignés puisque sur un cercle Il peut y avoir des directions communes à plusieurs sécantes parallèles : comme on ne s'occupe que des points à distance finie, on ne craint pas 3 points alignés sur la droite de l'infini !