Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

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Les épouses

Salut tout le monde,

  Bon, je trouve que l'on s'ennuie un peu ferme sur cette partie du forum. Il se trouve que j'ai trouvé un petit livre
d'énigme de Dudeney, qui a presqu'un siècle. En voici une, légèrement arrangée :

  Nérosson, Yoshi et Freddy, accompagnées de leurs épouses Gertrude, Berthe et Mauricette se rendirent à la grande fête de Chambon sur Lac le week-end dernier. Tous y ont acheté quelques Saint-Nectaire, qu'ils ont payé le même prix que le nombre acheté (Ah ces Auvergnats, dignes de leur réputation!). Chaque homme paya 63 euros de plus que son épouse. Sachant que Nérosson a acheté 23 Saint-Nectaire de plus que Gertrude, et Yoshi onze de plus que Berthe, qui est la femme de chacun?

  Je veux des réponses sous Spoiler avec explications!!!!
Si c'est trop facile, la prochaine fois, j'essaierai plus difficile.

Fred.

Dernière modification par Fred (05-11-2013 22:16:12)

nerosson

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Re : Les épouses

Salut à tous,

Non, non, Fred : surtout, ça n'est pas trop facile ! Dès que j'aurai une minute, j'essayerai, si toutefois mes 'beaux-frères" ne m'ont pas coupé l' herbe sous le pied.

Toutefois, une chose me perturbe : ton texte se termine par :   "Berthe, virgule, qui est la femme de chacun". Es-tu en train de prétentre que nous sommes trois à nous taper Berthe ? Une insinuation qui risque de faire encore exploser Yoshi !

Dernière modification par nerosson (05-11-2013 16:05:42)

yoshi

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Re : Les épouses

Re,

"Berthe, virgule, qui est la femme de chacun"

V'la que Fred invente le harem masculin...

Ah bin, comme dit le soldat romain dans je ne sais plus quel album d'Astérix, j'ajoute levant les yeux au ciel (bien mouillé à c't'heure...) : O tempora ! O mores !

Et félicitations au 2e morceau de silex pour sa lecture si attentive !

@+

Fred

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Re : Les épouses

Re,

  Il me semble que le point d'interrogation à la fin de la phrase ôte toute ambiguïté possible....
Cela dit, elle a un grand pied Berthe, non, si elle veut le prendre, il faut peut-être que vous soyez 3.

Fred.

freddy

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Re : Les épouses

Salut,

je confirme, l'ancien cherche à gagner du temps en attirant l'attention sur des non-sujets, un peu comme Copé sur Léonarda !

Sinon, je pense tenir la méthode*, je n'ai plus qu'une seule hypothèse à vérifier !

*sauf erreur, bien sûr :-)))

yoshi

Modo Ferox

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Re : Les épouses

RE,

Mea culpa, mea maxima culpa...
J'aurais dû prêter attention à la virgule !!!

@+

nerosson

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Re : Les épouses

Salut à tous,

@Fred,

Cette fois-ci, c'est moi qui vais me plaindre de l'ambiguïté de l'énoncé. Chacun son tour.

▼question

Tous y ont acheté quelques Saint-Nectaire, qu'ils ont payé le même prix que le nombre acheté

1ère interprétation : un acheteur "a" a acheté  "x"  S.N. qu'il a payé "x" euros, ce qui voudrait dire qu'un S.N. vaut un euro. Impensable, puisque chacun aurait acheté 63 S.N. de plus que son épouse !
2ème interprétation : un acheteur "a" a acheté "x" S.N., chaque S.N. valant "x" euros. Ca ne colle pas puisque le nombre de S.N. est variable suivant les acheteurs, alors que le prix d'un S.N. est invariable.
3ème interprétation : Le prix d'un S.N. est égal au nombre total de S.N. vendus : impensable, car il n'y aurait que Dassault et quelques autres qui pourraient bouffer du S.N.

Par ailleurs, le fait que 63 = 9 x 7 m'intrigue : ça ne doit pas être étranger à la solution : les maris ont du acheter, soit 7, soit 9 S.N. de plus que leur femme. A creuser....

J'attends des éclaircissements que tu pourras éventuellement mettre sous spoiler pour le cas où les autres ne se poseraient pas la même question.

A+

Dernière modification par nerosson (05-11-2013 16:26:56)

Fred

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Re : Les épouses

Salut Nerosson,

  Je lève l'ambiguïté sans spoiler : la bonne interprétation est : un acheteur "a" a acheté "x" S.N., chaque S.N. valant "x" euros.
Oui, le prix du St Nectaire est variable, et plus on en achète, plus il est cher (d'où le "Ah ces Auvergnats"!).

Fred.

nerosson

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Re : Les épouses

Salut à tous,

Un commencement de solution.

▼Pour empêcher Freddy de coucher avec n'importe qui !

Etant donné que 63 = 9 x 7, et que le prix du S.N. est sûrement un nombre rond d'euros, chaque mari a acheté soit 9, soit 7 S.N. de plus que sa femme, donc :

a) le mari de Gertrude ne peut pas être Nérosson, c'est donc Yoshi ou Freddy.
b) le mari de Berthe ne peut pas être Yoshi, c'est donc Nérosson ou Freddy.
c) le mari de Mauricette est donc Nérosson ou Yoshi.

J'espère bien que ça n'est pas moi le mari de Mauricette ! ! ! J'ai connu une Mauricette, dans le temps. Vous parlez d'une purge ! ! !

A+

@Fred,

Je n'avais pas vu ta dernière intervention. Donc, ça ne colle plus. Je te soupçonne d'être un peu sadique !

Dernière modification par nerosson (05-11-2013 17:11:15)

Barbichu

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Re : Les épouses

Bonjour,

le Saint-Nectaire, très peu pour moi, mais soit je fais une erreur, soit il y en a une dans l'énoncé, soit ce problème est beaucoup plus compliqué qu'il n'y parait.
Voici une solution complète sous certaines hypothèses (notamment qu'il y a une typo dans l'énoncé, dans le cas contraire c'est un début de solution).

▼Texte caché

Quelqu'un ayant acheté [tex]x[/tex] S.N. payera un prix total de [tex]x^2[/tex] (prix en euros, sous entendu à partir de maintenant).

Soit [tex]x[/tex] le nombre de S.N. acheté par une femme donnée et [tex]y[/tex] celui acheté par son mari, on a la relation [tex]y^2 = 63 + x^2[/tex] (chaque homme ayant payé 63 de plus que son épouse).
On a donc [tex](y - x)(x + y) = 63[/tex] et [tex]x < y[/tex] (*).
Faisons la supposition (1) que x et y sont entiers (sinon, c'est là que le problème devient plus compliqué).

Puisqu'il existe exactement trois façons de factoriser 63 en paire de deux entiers [tex]\{1, 63\}, \{3, 21\}, \{7, 9\}[/tex], il y a exactement trois solutions [tex](x, y)[/tex] au système (*) qui sont respectivement [tex](31, 32)[/tex], [tex](9, 12)[/tex] et [tex](1, 8)[/tex].

Et là on se rend compte qu'entre un homme (y) et une femme (x) il y a nécessairement une différence de nombre de S.N. achetés de
- 1, 3 ou 7 si ils sont mariés
- 1, 3, 7, 23, 31, -19, 11, -23 ou -1 sinon.

Du coup il ne peut pas y avoir de différence de 33 S.N. achetés entre Nérosson et Gertrude, si la supposition (1) est correcte.

Supposons (2) que ce soit une erreur d'énoncé et que ce soit D à la place de 33. On sait déjà que:
- Berthe et Yoshi ne sont pas mariés,
- Yoshi a acheté 12 S.N. et sa femme 9,
- Berthe a acheté 1 S.N et son mari 8.
En connaissant D, on connaîtra le même type d'information sur Nérosson et Gertrude.
- Si D vaut 3, 7 ou 11 on ne peut pas conclure, faute d'information,
- Si D vaut 1, alors on a les couples N-G, Y-M et F-B,
- Si D vaut 23, alors on a les couples N-M, Y-G et F-B,
- Si D vaut 31, alors il n'y a pas de solution (Freddy serait le seul à avoir acheté 8 S.N. aurait deux femmes : Berthe et Gertrude),
- On pourrait faire de même avec D négatif, mais on va supposer (3) que Nérosson a vraiment acheté plus de S.N. que Gertrude.

Par hypothèse de "typo minimale" (4), on va dire que D = 23. Et que la solution est Nérosson-Mauricette, Yoshi-Gertrude et Freddy-Berthe. Parce qu'alors Nérosson aurait nécessairement acheté 32 S.N., sa femme 31 et Gertrude 9 et son mari 12. Le mari de Berthe n'est ni Nérosson, ni Yoshi c'est donc Freddy qui a donc acheté 8 S.N. Le mari de Gertrude est donc nécessairement Yoshi, et il reste Mauricette pour Nérosson.

Où est l'erreur et quelles hypothèses sont justes ?

A+

Fred

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Re : Les épouses

Re-

  Je suis idiot!!!!!! Et Barbichu a raison, il s'agit de 23 Saint-Nectaires et non de 33 Saint-Nectaires dans l'énigme initial. Je viens de corriger le message initial. Mille excuses!

▼Pour Barbichu

Bien sûr, [tex]x[/tex] est entier, on ne partage pas un Saint-Nectaire!
Et bravo pour ta solution qui est la bonne. C'est Nerosson qui va être fâché d'être marié à Mauricette...

freddy

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Re : Les épouses

Salut,

ce qui est amusant est que je tombe sur une solution possible sur laquelle j'étais arrivé hier en comprenant que le prix du SN = 1 euro la pièce ... En particulier, c'était l'ancêtre qui avait la plus belle à son bras !

▼ une idée

Avec la double précision de Fred, on arrive à la solution comme suit.

Soit [tex]X[/tex] le nombre de fromage de Madame. Monsieur en a acheté [tex]X+d[/tex] de telles sorte que [tex](X+d)^2-X^2 = 63[/tex]

On doit alors résoudre dans [tex]N[/tex] l'équation [tex]d(2X+d)=63[/tex] ce qui donne les couples suivants :

[tex]d = 1[/tex] et [tex]X = 31[/tex] ; [tex]d = 3[/tex] et[tex] X = 9[/tex] et [tex]d = 7[/tex] et [tex]X = 1[/tex]

A partir de là, il vient les couples (N et M) avec M = 31 pièces et N = 32 ; puis le couple (Y et G) avec Y = 12 et G = 9 et enfin (F et B) avec F = 8 et B = 1

PS 1 : j'ai connu en toute amitié une Mauricette il y a plus de 40 ans, belle brune d'origine italienne qui aurait fait se damner le diable en personne si ce n'était déjà fait ...

PS 2 : je mange très rarement du fromage ...

nerosson

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Re : Les épouses

Salut à tous,

Alors Fred, on fait des erreurs dans ses énoncés ??? Une demande de précision par moi, une correction d' erreur par Barbichu, une engueulade par qui ?

Alors, Freddy, il paraît que tu es l'époux de Berthe ? Si on se réfère à mon post 2, on se demande si tu vas pouvoir passer sous les portes.... Très bien, Berthe : on a plaisir à la connaître.

freddy

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Re : Les épouses

Re,

@Nerosson : comme ça, je serai le plus beau de la forêt. Pour une fois que quelque chose me sied bien :-)))

@Fred : sujet sympa et divertissant de difficulté moyenne. Tu peux en poster d'autres, même niveau et niveau supérieur !

Merci d'avance !

Dernière modification par freddy (06-11-2013 21:05:05)

Fred

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Re : Les épouses

Alors Fred, on fait des erreurs dans ses énoncés ??? Une demande de précision par moi, une correction d' erreur par Barbichu, une engueulade par qui ?

Je vous demande pardon, maitre....

freddy

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Re : Les épouses

Salut,

bon, Fred, qui couche avec qui, finalement ?

Fred

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Re : Les épouses

Salut,

  Tout était dans la réponse de Barbichu...

Soit [tex]x[/tex] le nombre de Saint-Nectaires (S.N.) acheté par une femme donnée et [tex]y[/tex] celui acheté par son mari, on a la relation [tex]y^2=63+x^2[/tex] (chaque homme ayant payé 63 de plus que son épouse).
On a donc [tex](y−x)(x+y)=63[/tex] et [tex]x<y[/tex]

  Puisqu'il existe exactement trois façons de factoriser 63 en paire de deux entiers : {1,63},{3,21},{7,9} , il y a exactement trois solutions [tex](x,y)[/tex] au système qui sont respectivement (31,32) , (9,12) et (1,8).

Et là on se rend compte qu'entre un homme (y) et une femme (x) il y a nécessairement une différence de nombre de S.N. achetés de
* 1, 3 ou 7 si ils sont mariés
* 1, 3, 7, 11, 23, 31, -19, -23 ou -1 sinon.

  On déduit alors des hypothèses que Berthe et Yoshi ne sont pas mariés, de même que Nérosson et Gertrude. De plus, Nérosson a forcément acheté 32 Saint-Nectaire et son épouse 31, et Gertrude a acheté 9 Saint-Nectaire et son mari 12. L'écart de 11 entraîne que Yoshi a acheté 12 Saint-Nectaires, son épouse 9 et Berthe un seul Saint-Nectaire, son mari 1. Il reste pour Freddy 8 Saint-Nectaire, et pour Mauricette 31 Saint-Nectaire. En remettant toutes les informations en place, on trouve finalement que :

* Nérosson est marié avec Mauricette;
* Freddy est marié avec Berthe;
* Yoshi est marié avec Gertrude.

Fred.