Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Golgup

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Une somme folle!

Messieurs bonsoir,

La fureur des maths saura-t-elle vous faire calculer

[tex] \lim_{n \to +\infty} \,\,\frac{1}{i\times n}\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{k}{n}-1\right)}^{2}-1}}[/tex]     !?!?   

(ou i est Le complexe)

à toute

Fred

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Re : Une somme folle!

Re-

  Je n'ai pas fait les calculs, mais spontanément je m'orienterais vers les

▼Indication

sommes de Riemann

Fred.

Golgup

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Re : Une somme folle!

salut,

▼rmq

Oh non j’espère que ca n'est pas réductible à ça! Du moins, je ne les ais pas utiliser au sens strict du terme.

amatheur

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Re : Une somme folle!

salut
@Fred, c'est la première chose à laquelle j'ai pensé, mais il y avait le i qui me dérangeait, et je ne sais pas si le concept est extensible sur le corps des complexes.

Fred

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Re : Une somme folle!

Salut,

▼suite

Je commencerai par rentrer le i dans la racine carrée pour avoir quelque chose de toujours positif à l'intérieur.
Ensuite, ce n'est pas directement le théorème usuel sur les sommes de Riemann qu'on peut appliquer,
car on n'a pas affaire à une fonction continue sur un intervalle, mais en fait cela marche quand même....

On trouve que la somme vaut [tex]\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}dx[/tex]

Reste à calculer cette intégrale, ce qui se fait....

jpp

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Re : Une somme folle!

salut.

▼début d'une réponse

  on devrait arriver à [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]  comme ceci:
[tex]\lim_{n\to\infty} \frac{1}{i.n}\times\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{\left[\frac{k}{n} - 1\right]^2 - 1}}=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{k=1}^n\frac{1}{i.\sqrt{\left[\frac{k}{n} - 1\right]^2 - 1}}=  \frac1n \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1 - \left[\frac{k}{n} - 1\right]^2 }} [/tex]

[tex]   =  \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2\times{\left[1 - (\frac{k}{n} - 1)^2\right]}}}    =  \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{\left[2kn - k^2\right]}}      [/tex]

si je divise par n  et que je fasse intervenir la variable [tex]\frac{k}{n} = u[/tex] alors les bornes d'intégration deviennent  [tex]\frac1n = 0[/tex] pour k=1 & [tex]\frac{n}{n} = 1[/tex]  et mon intégrale devient:

[tex]\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}}du[/tex]   

puis en effectuant un changement de variable [tex]u-1= \cos{t}[/tex]  on obtient [tex]du = -\sin{t}.dt[/tex]

puis [tex]I = \int \frac{-\sin{t}}{\sin{t}}.dt  =- t =- \arccos{(u-1)} =- \arccos{\left[\frac{k}{n} - 1\right]}_0^1 = \frac{\pi}{2}[/tex]

si je n'ai pas fait d'erreur.

n.b.  en fait n est proche de l'infini  et la fonction serait assimilable à une fonction continue sur l'intervalle (0,1) pour la variable k/n   ou k prend toutes les valeurs de L'ensemble N des entiers naturels.

   

(...)

Dernière modification par jpp (28-01-2012 17:03:26)

Golgup

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Re : Une somme folle!

bonjour,

Hé oui, je crois que jpp tient la belle...

Je disais que ce n’était pas une somme de Riemann parce que pour poser le problème j'ai considérer d'abord, la longueur d'une droite de fonction affine entre [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex],  qui est   [tex]{l}_{\alpha ,\beta }=\,[/tex][tex]\left(\beta -\alpha \right)\sqrt{{y}^{{'}^{2}}+1}[/tex]

De là, la longueur de n'importe quelle courbe positive entre X et Y (X<Y) vaut donc

[tex]{L}_{X,Y}=\,{l}_{X,X+h}+\,{l}_{X+h,X+2h}+\,...\,+\,{l}_{X+kh,Y}[/tex]   lorsque h tend vers 0.

Et donc en prenant une courbe du type [tex]y=\sqrt{1-{x}^{2}}[/tex]  un morceau de courbe vaudra [tex]\pi /2[/tex]

il reste à poser proprement    [tex]h\sum^{\frac{Y-X}{h}}_{k=1}\sqrt{f{'}^{2}\left(X+kh\right)+1}[/tex]   en choisissant judicieusement  X et Y...

@+

Saphir

Invité

Re : Une somme folle!

Messieurs bonsoir,

La fureur des maths saura-t-elle vous faire calculer

[tex] \lim_{n \to +\infty} \,\,\frac{1}{i\times n}\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{k}{n}-1\right)}^{2}-1}}[/tex]     !?!?   

(ou i est Le complexe)

à toute

...et elle saura même faire en sorte qu'on puisse l'utiliser pour notre Empire
bon eh bien quand on est poli on dit merci alors merci

anonyme

Invité

Re : Une somme folle!

on utilise le calcul des limites pas intégrale f(k/n)... et aussi la derivation de racine de u(x)
en fin de compte ca donne -1

freddy

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Re : Une somme folle!

on utilise le calcul des limites pas intégrale f(k/n)... et aussi la dérivation de racine de u(x)
en fin de compte ca donne -1

Salut,

non, la bonne réponse est donnée par Fred et jpp !