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#1 02-02-2011 23:04:03
- khalil
- Invité
Dérivabilité
Bonsoir,
J'ai la question suivant:
Etudier la dérivabilité en $0$.
1)
[tex]g(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}[/tex] si [tex]x[/tex] différent de 0 et g(0)=1
2)
[tex]f(x)=\sqrt{x^{n+1}+x^n}[/tex]
Merci pour votre aide.
#2 03-02-2011 10:47:05
- Fred
- Administrateur
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Re : Dérivabilité
Bonjour,
Dans les deux cas, tu n'as pas le choix, tu dois appliquer la définition,
c'est-à-dire étudier si le taux d'accroissement admet une limite en 0.
Pour la fonction g, tu dois en plus utiliser la quantité conjuguée pour simplifier l'expression.
Ceci donne :
[tex]\frac{g(x)-g(0)}{x-0}= \frac{\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}x-1}{x-0}=\frac{\frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}-1}{x}=\frac{2x-x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x^2(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}[/tex]
soit
[tex]\frac{g(x)-g(0)}{x-0}= \frac{2-(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}[/tex]
Mince! On tombe encore sous une forme indéterminée!
Est-ce que dans ton cours, on t'a parlé de développement limité à l'ordre 1 pour une fonction dérivable,
c'est-à-dire que si f est dérivable en a, alors
[tex]f(a+h)=f(a)+hf'(a)+hu(h)[/tex] avec la fonction u qui tend vers 0 en 0?
Fred.
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#3 03-02-2011 13:28:40
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Dérivabilité
Salut,
j'ai une autre idée : connais tu la règle de l'Hospital ?
Elle dit : si u et v sont dérivable en x0 avec v'(x0) non nul, alors la dérivée de (u/v) en x0 est égal au quotient u'/v' en x0.
Fred, tu confirmes qu'on peut toujours l'utiliser, ou bien elle n'est plus enseignée aujourd'hui ?
le lien Bibmath : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … pital.html
Dernière modification par freddy (03-02-2011 13:30:20)
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#4 03-02-2011 16:09:08
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Dérivabilité
Re,
sinon, comme dit Fred, pour la seconde fonction il faut aussi que tu passes par la définition de la dérivée.
Là, c'est un poil plus simple si tu penses à factorises par x^n ...et discuter selon les valeurs de n !
Dernière modification par freddy (03-02-2011 16:09:48)
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#6 03-02-2011 18:23:40
- totomm
- Invité
Re : Dérivabilité
Bonjour,
Pourquoi ne pas transformer g(x) ?
[tex]g(x)=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}[/tex]
#8 04-02-2011 00:46:50
- Trickoo
- Membre
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- Messages : 27
Re : Dérivabilité
Bon-jour
Pour la règle de l'Hopital il faut certaines conditions,en l'occurence la continuité des deux fonctions.du moins la
vérifié,qui fournit donc un travail de plus.N'est-pas???Je propose sur ce l'utilisation de la définition qui est déjà
dite
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#10 06-02-2011 03:28:34
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Dérivabilité
Bonjour
Si la leçon sur les developpements limités est vue on peut utiliser la méthode indiquée par Fred mais au lieu de calculer le taux d'accroissemnt directemnt , on donne juste dl de celui-ci en le poussant à un ordre convenable ...
#11 06-02-2011 13:18:52
Re : Dérivabilité
Salut,
On peut aussi utiliser un théorème qui dit que si une fonction est continue en un point a et que sa dérivée admet une limite en a, alors elle est dérivable en a et sa dérivée en a est la limite des dérivées.
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#12 06-02-2011 17:40:03
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Dérivabilité
Bonjour
C'est le théorème de prolongement de la dérivée.
Voici une autre version de ce théorème
Soit f une fonction dérivable sur ]a,b] tel que f' admet une limite L quan x tends vers a à droite. Alors la fonction f est prolongeable par continuité au point a à droite et son prolongement noté aussi f est dérivable au poit a et f'(a)=L.
Meme chose si on travaille sut un intervalle ouvert I privé d'un point a , f étant dérivable en tout point de I \{a} et admet une limite L quand x tends vers a. La conclusion est f est prolongeable par continuité au point a et si f dénote le prolongement on a f'(a)=L.
Sauf erreur bien entendu !
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