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#1 27-01-2011 11:53:11
- freddy
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gbrixerie !...
Bonjour,
j'ai concocté celle là pour notre ami qui sait calculer l'intégrale de x sur le segment [1, 2].
Deux amis jouent à un jeu bizarre, s'inspirant d'un jeu TV où la mère bocco sévissait sur une chaîne en béton.
Ils lancent à tour de rôle un dé et gagne celui qui a marqué le plus de point sur une durée donnée.
Les règles du jeu sont les suivantes :
1 - tant que le résultat est différent de 1, celui qui a le trait peut :
1-1 soit continuer à lancer le dé ;
1-2 soit s'arrêter, totaliser la somme des numéros sortis et l'ajouter au total précédemment obtenu (on dit qu'il "Banque").
2 - S'il obtient l'as, il ne marque rien et passe le dé à son voisin.
Exemple : il obtient 2, 5, 6, 3 => il banque 16 s'il le souhaite. S'il avait déjà 31, son nouveau total = 47.
Il obtient 2, 5, 6, 3 continue et sort 1 => il ne marque rien et passe la main à son voisin.
Trois questions simples :
1 - quelles sont les différentes stratégies possibles pour espérer gagner ?
2 - parmi celles ci, l'une consiste à lancer le dé tant que le total des tirages en cours n'a pas atteint un certain montant. Lequel ?
3 - parmi d'autres, l'une consiste à décider de lancer le dé un certain nombre de fois, fixé à l'avance. Combien ?
Parmi les deux dernières stratégies, y en a t-il une meilleure que l'autre ?
Bis bald !
Dernière modification par freddy (27-01-2011 11:56:40)
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#2 27-01-2011 16:10:07
- nerosson
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Re : gbrixerie !...
Salut,
Je ne suis pas très sûr de moi (ça m'arrive souvent). Disons que je propose une réponse plutôt conjecturelle.
Si on rejoue :
a) on a une chance sur 6 de perdre ce qu'on aurait pu banquer,
b) on a 5 chances sur 6 de gagner soit 2, soit 3, soit 4, soit 5, soit 6. Donc un espoir moyen de gagner 4.
Il me semble que j'arrêterais à partir du moment ou je pourrais banquer 20 (5 X4).
Tout ça, c'est un peu capillotracté, comme dirait la fille de Yoshi !
P.S. Freddy, tâche d' être un peu plus poli avec cette pauvre Laurence !
Dernière modification par nerosson (27-01-2011 16:14:28)
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#4 27-01-2011 16:52:17
- nerosson
- Membre actif
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Re : gbrixerie !...
Re,
Toujours dans la même veine, et en essayant d'exploiter le raisonnement précédent, il me semble qu'il conviendrait de jouer un nombre de fois correspondant à l'espoir moyen de gagner 20. L'espoir moyen pour chaque coup étant de gagner 4, il serait peut-être sage d'arrêter après cinq coups.
Intuitivement, cette solution me parait inférieure à l'autre, parce que je ne suis pas sûr qu'elle prenne suffisamment en compte le risque du 1.
Je suis conscient que c'est encore plus approximatif que ma première prestation.
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#6 28-01-2011 14:34:57
- gprbx
- Membre
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Re : gbrixerie !...
Bonjour,
C'est un jeu où l'intuition (et les calculs) ci-dessus semblent des plus pertinents...
En jouant régulièrement 5 coups, on gagnera en moyenne 8,038. c'est le max en moyenne.
Si, à un moment donné on a acquis de 2 à 20, on peut améliorer en moyenne de 3 à 0 (linéairement pour 2 à 20 respectivement) en jouant un coup de plus.
La meilleure façon de jouer serait donc de se fixer 4 à 5 coups au plus (si l'on n'a que des 2 par exemple), mais de banquer dès que l'on a atteint de 8 à 12 par exemple. Surtout ne pas courir après l'adversaire s'il a un total plus important banqué à ce moment là.
Quelle est la recommandation du spécialiste ?
A+ : gprbx
Dernière modification par gprbx (28-01-2011 14:35:38)
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#8 28-01-2011 19:18:40
- Eva91
- Invité
Re : gbrixerie !...
Bonsoir,
Moi j'arrête dès que j'ai 20 ou plus car ensuite on ne gagne plus rien en moyenne
Mais je suis prudente quand j'ai 14 ou plus car avec 14 on ne gagne plus que 1 en moyenne en continuant de jouer...tout dépendra de l'écart avec l'autre joueur !
#10 01-02-2011 12:35:21
- Eva91
- Invité
Re : gbrixerie !...
bonjour, salut,
j'ai x à un moment, avec un coup de plus je perds x avec 1 chance sur 6, ou je gagnei 2, 3...,6.
jetrouve comme gprbx au numéro 6 :"Si, à un moment donné on a acquis de 2 à 20, on peut améliorer en moyenne de 3 à 0 (linéairement pour 2 à 20 respectivement) en jouant un coup de plus."
Je dois donner plus de détail ?
#12 02-02-2011 14:25:54
- freddy
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Re : gbrixerie !...
Re,
bon, je me lance.
Parmi les stratégies, on a celle qui dit : je joue tant que je n'ai pas dépassé l'autre de 1, 2 ... ou p points.
Ou bien je joue en imitant l'autre (pex autant de fois qu'il a joué, si je peux ...)
Le problème est que si je démarre le premier, je ne sais pas si l'autre n'a pas en tête une stratégie gagnate (i. e optimale), et je risque donc de perdre "à coups presque sûrs".
D'où l'étude des deux stragégies proposées, dont l'une est d'ailleurs meilleure que l'autre. Mais laquelle ?
On you !
Dernière modification par freddy (02-02-2011 14:27:18)
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#13 02-02-2011 17:46:04
- Eva91
- Invité
Re : gbrixerie !...
Bonjour, salut,
Bon, je reviens encore une fois. ça, c'est qu'on dit dans tous les bouquins !
c'est la suite qui va surement être ébouriffant !!
#15 02-02-2011 18:42:48
- Eva91
- Invité
Re : gbrixerie !...
re, vous n'avez donc pas compris, c'est moi qui vous attend
Salut !
#17 02-02-2011 23:28:02
- freddy
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Re : gbrixerie !...
Re,
bon, première étape : le nombre X à atteindre.
Comme tu dis, si j'ai X et que je rejoue, je peux obtenir : 0 avec une proba=1/6 ou X+2, ou X+3, ou ... X+6 avec la même probabilité.
L'espérance mathématique [tex]E_X=\frac{5X+20}{6}[/tex].
J'arrête de jouer quand je ne peux améliorer, en espérance, mon total partiel, soit quand :
[tex]E_X \le X \Leftrightarrow 5X+20 \le 6X[/tex] donc quand [tex]X \ge 20[/tex].
Donc si j'ai réalisé 18 ou 19, je rejoue ; dès que j'ai atteint ou dépassé 20, j'arrête et passe la main.
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#18 03-02-2011 11:46:24
- freddy
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Re : gbrixerie !...
Re,
seconde stratégie : jouer un nombre de coups fixé par avance.
Soit n ce nombre. Comme dans l'approche précédente, on s'arrête de jouer quand l'espérance mathématique du coup suivant est inférieure à celle du coup précédent, soit quand :
[tex]E(Y_{n+1}) \le E(Y_n)[/tex]
La question est de savoir combien vaut l'espérance mathématique de la somme des résultats après n tirages.
En passant par la fonction génératrice, le calcul se fait assez rapidement.
On définit la distribution de probabilité des résultats possibles après n tirages par :
[tex]G_n(X)=\frac{1}{6^n}\times \left(X^2+X^3+X^4+X^5+X^6\right)^n[/tex]
et on sait que l'espérance recherchée est donnée par la dérivée de la fonction génératrice au point 1, soit :
[tex]E(Y_n)=G'_n(1)=\frac{n}{6^n}\times 20 \times 5^{n-1} =4\times n\times \left(\frac56\right)^n[/tex]
La règle de décision ci dessus conduit à choisir [tex]n \ge 5[/tex].
On voit que n = 5 ou n = 6 donnent les mêmes résultats. Prudent, on prendra n = 5.
Dernière modification par freddy (03-02-2011 11:47:29)
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#20 10-02-2011 23:33:58
- freddy
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Re : gbrixerie !...
Salut !
La première règle est supérieure à la seconde car :
jouer 5 fois implique une espérance mathématique égale à 8,0376 ;
s'arrêter dès que le total est > 20, soit égal à 21, 22, 23, 24, 25 ou 26 indique une espérance mathématique égale à :
[tex]0.09499\times 21+ 0.09081\times 22 + 0.07081\times 23 + 0.05181\times 24 + 0.03379\times 25 + 0.01661\times 26=8,1413[/tex]
Bb
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#21 11-02-2011 21:53:46
- Eva91
- Invité
Re : gbrixerie !...
bonjour,
je ne comprends pas le raisonnement de freddy :
0,09499 semble la somme des probabilités d'otenir 21 en jouant jusqu'à 9 coups successifs
0,09081 semble la somme des probabilités d'otenir 22 en jouant jusqu'à 10 coups successifs
etc ?
S'arrêter dès que l'on obtient 20 (ou plus) semble commandé parce que jouer encore laisse espérer un gain supplémentaire nul ou même une perte...
Pour avoir au moins 20 il faut jouer 4 fois au moins, A partir de ce moment là, les probabilités sur 5,6,..coups n'ont plus lieu d'être considérées. Seul compte le total que l'on vient d'obtenir... ??
#22 12-02-2011 00:08:51
- freddy
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Re : gbrixerie !...
Salut,
dans mon calcul, je fais l'hypothèse que je rejoue si j'ai obtenu 20 ou moins, et je m'arrête dès que j'ai plus de 20.
Pour ce faire, je dois jouer au moins 4 fois.
Le polynôme générateur [tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)^4=\sum_{i=8}^{24} a_{4,i}X^i[/tex] donne, via les coefficients des puissances de X, la distribution de probabilité d'obtenir 8, 9, 10, ... 24 après le quatrième jeu.
Si j'ai obtenu un total compris entre 21 et 24, j'arrête. Sinon, je rejoue à nouveau et j'obtiens la distribution de probabilité suivante pour une somme de points comprise entre 10 et 26 :
[tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)\times \sum_{i=8}^{20} a_{4,i}X^i=\sum_{i=10}^{26} a_{5,i}X^i[/tex].
Là encore, j'arrête si j'ai obtenu un total compris entre 21 et 26, sinon je rejoue à nouveau et j'ai la distribution de probabilité donnée par le polynôme générateur suivant :
[tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)\times \sum_{i=10}^{20} a_{5,i}X^i=\sum_{i=12}^{26} a_{6,i}X^i[/tex].
A ce stade, j'arrête de jouer si j'ai obtenu un total compris entre 21 et 26. Sinon, en vertu de ma stratégie, je rejoue et j'obtiens :
[tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)\times \sum_{i=12}^{20} a_{6,i}X^i=\sum_{i=14}^{26} a_{7,i}X^i[/tex].
Si nécessaire, je peux aller jusqu'à jouer un dixième et dernier coup. Mais je peux m'arrêter avant, bien entendu.
Et les probabilités calculées sont données par : [tex]\Pr(S=k)=\sum_{p=4}^{10} a_{p,k} \,\; \forall k \in \{21, 26\}[/tex].
Dernière modification par freddy (12-02-2011 09:13:58)
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#23 12-02-2011 11:28:18
- Eva91
- Invité
Re : gbrixerie !...
Bonjour,
Merci à freddy, j'ai encore réfléchi aux probas conditionnelles et j'ai recalculé pour retomber sur les mêmes valeurs.
Maintenant j'ai bien compris l'importance de l'espérance sur les 6 gains qui suivent la valeur d'arrêt et je sais la calculer.
Je trouve que l'espérance si on s'arrête dès que l'on a 20 ou plus = 8,141795
C'est la même que si l'on s'arrête dès que l'on a plus de 20. (calculs avec au moins 6 décimales)
#25 20-02-2011 14:50:09
- totomm
- Invité
Re : gbrixerie !...
Bonjour,
il semble d'après cette référence : http://cs.gettysburg.edu/~tneller/papers/pig.zip
que ce jeu ait été étudié plus en détail déjà en 2004
Excellent article, mais en anglais !
Mais sans doute connu par freddy ?