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Salut totomn

et merci pour le lien, je ne connaissais pas.

Re,

exact, le quotient est égal à : [tex]\frac{492303203}{60466176}[/tex]

Salut,

dans mon calcul, je fais l'hypothèse que je rejoue si j'ai obtenu 20 ou moins, et je m'arrête dès que j'ai plus de 20.

Pour ce faire, je dois jouer au moins 4 fois.

Le polynôme générateur [tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)^4=\sum_{i=8}^{24} a_{4,i}X^i[/tex] donne, via les coefficients des puissances de X, la distribution de probabilité d'obtenir 8, 9, 10, ... 24 après le quatrième jeu.

Si j'ai obtenu un total compris entre 21 et 24, j'arrête. Sinon, je rejoue à nouveau et j'obtiens la distribution de probabilité suivante pour une somme de points comprise entre 10 et 26 :

[tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)\times \sum_{i=8}^{20} a_{4,i}X^i=\sum_{i=10}^{26} a_{5,i}X^i[/tex].

Là encore, j'arrête si j'ai obtenu un total compris entre 21 et 26, sinon je rejoue à nouveau et j'ai la distribution de probabilité  donnée par le polynôme générateur suivant :

[tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)\times \sum_{i=10}^{20} a_{5,i}X^i=\sum_{i=12}^{26} a_{6,i}X^i[/tex].

A ce stade, j'arrête de jouer si j'ai obtenu un total compris entre 21 et 26. Sinon, en vertu de ma stratégie, je rejoue et j'obtiens :

[tex]\left(\frac{X^2+X^3+X^4+X^5+X^6}{6}\right)\times \sum_{i=12}^{20} a_{6,i}X^i=\sum_{i=14}^{26} a_{7,i}X^i[/tex].

Si nécessaire, je peux aller jusqu'à jouer un dixième et dernier coup. Mais je peux m'arrêter avant, bien entendu.

Et les probabilités calculées sont données par : [tex]\Pr(S=k)=\sum_{p=4}^{10} a_{p,k} \,\; \forall k \in \{21, 26\}[/tex].

Salut !

La première règle est supérieure à la seconde car :

jouer 5 fois implique une espérance mathématique égale à 8,0376 ;

s'arrêter dès que le total est > 20, soit égal à 21, 22, 23, 24, 25 ou 26 indique une espérance mathématique égale à :

[tex]0.09499\times 21+ 0.09081\times 22 + 0.07081\times 23 + 0.05181\times 24 + 0.03379\times 25 + 0.01661\times 26=8,1413[/tex]

Bb

Re,

seconde stratégie : jouer un nombre de coups fixé par avance.

Soit n ce nombre. Comme dans l'approche précédente, on s'arrête de jouer quand l'espérance mathématique du coup suivant est inférieure à celle du coup précédent, soit quand :

[tex]E(Y_{n+1}) \le E(Y_n)[/tex]

La question est de savoir combien vaut l'espérance mathématique de la somme des résultats après n tirages.

En passant par la fonction génératrice, le calcul se fait assez rapidement.

On définit la distribution de probabilité des résultats possibles après n tirages par :

[tex]G_n(X)=\frac{1}{6^n}\times \left(X^2+X^3+X^4+X^5+X^6\right)^n[/tex]

et on sait que l'espérance recherchée est donnée par la dérivée de la fonction génératrice au point 1, soit :

[tex]E(Y_n)=G'_n(1)=\frac{n}{6^n}\times 20 \times 5^{n-1} =4\times n\times \left(\frac56\right)^n[/tex]

La règle de décision ci dessus conduit à choisir [tex]n \ge 5[/tex].

On voit que n = 5 ou n = 6 donnent les mêmes résultats. Prudent, on prendra n = 5.

re,

je ne comprends pas : tu veux la réponse ? Je pensais que tu allais développer ton raisonnement.

Re,

oui, on t'attend !

Re,

bon, je me lance.

Parmi les stratégies, on a celle qui dit : je joue tant que je n'ai pas dépassé l'autre de 1, 2 ... ou p points.

Ou bien je joue en imitant l'autre (pex autant de fois qu'il a joué, si je peux ...)

Le problème est que si je démarre le premier, je ne sais pas si l'autre n'a pas en tête une stratégie gagnate (i. e optimale), et je risque donc de perdre  "à coups presque sûrs".

D'où l'étude des deux stragégies proposées, dont l'une est d'ailleurs meilleure que l'autre. Mais laquelle ?

On you !