A propos de la réciproque du "théorème" de Pythagore...

yoshi · 10-01-2011 14:13:32

Salut,

Non, tu ne rêves pas, j'ai bien fait allusion à cette discussion-là.
Yakademander...
T'as mal cherché :
Citation n° 1

A la différence de ce que vous deux avez fait : sans vous servir de B vous êtes partis de A pour aller à B. C'est comme ça que j'ai été formé, et que je fonctionne depuis 40 ans...
J'en ai déjà discuté avec Barbichu qui considère mes réticences comme "ridicules", il me disait : pourquoi se
priver de cette méthode ?

Citation n°2:

J'étais obnubilé par la formation reçue comme Lycéen :
Montrer que A = B.
Si on part de A pour aller à B : démonstration...
Si on montre que A-B = 0 : Vérification...
Et, à moi, on m'a seriné durant mes années de Lycée : si on dit démontrer et que vous vérifiez ce n'est pas bon !

Source : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 583#p26583

Et même j'ajoute : ce conditionnement, je l'ai subi de la 6e à la Term...
Je te donnerai, en privé, le nom de la personne sortie de l'ENS (en 3e position disait sa réputation) devenue Inspecteur par la suite, je crois, et au demeurant prof remarquable d'ailleurs.
J'ai même cru comprendre que c'était une différence de traitement fondamental des problèmes entre les Sciences Exp et les Math Elem, puis les D et les C : les premiers vérifient, les autres démontrent
Et il n'y a pas que moi qui ait eu ce Prof (mais en ce qui concerne D et C, elle ne peut être tenue pour responsable : j'ai bien dû entendre ça ailleurs... mais où ?), dans la famille, on est plusieurs, si tu vois ce que je veux dire...

@+

thadrien · 10-01-2011 14:34:20

Et pan ! Encore un !

Ce truc fait hélas partie de tous les trucs inutiles dans l'enseignement uniquement pour distinguer les "ingénieurs" des "techniciens" et des "ouvriers". Que les exigences soient différentes est parfaitement normal, mais mettre des trucs inutiles seulement pour distinguer, franchement, c'est pas très utile...

Je me souviens bien de mes cours de maths de première : la prof de maths avait passé un quart d'heure à nous expliquer qu'on avait pas le droit de passer directement d'une inéquation de type (x-a)^2+(y-b)^2<r^2 à la conclusion que le point de coordonnées (x,y) était à l'intérieur du cercle de centre (a,b) et de rayon r et qu'il fallait faire toute une justification du type :

1) C'est une équation de type "cercle de rayon r".
2) On prend un point à l'intérieur du cercle et on vérifie qu'il vérifie bien l'inéquation.
3) Donc l'inéquation correspond à l'intérieur du cercle et non pas à l'extérieur.

Vraiment lourdingue pour pas grand chose. Avec les ritournelles à mettre pour chacune des trois étapes, on avait facilement un paragraphe de raisonnement rien que pour montrer ceci. :-(

Quand j'ai tenté d'expliquer à la prof que, quand même, c'était beaucoup pour ne montrer pas grand chose, elle m'a dit :

"Vous n'êtes pas en STI (sic !) ! Si vous étiez en STI, je serai déjà bien contente que vous fassiez ça, mais en S, c'est pas suffisant."

J'ai eu le même coup en prépa, quand j'ai expliqué à une prof (pas de maths) que la régression linéaire de la calculatrice fonctionnait bien mieux, bien plus précisément et bien plus rapidement que la courbe tracée sur du papier brouillon avec un crayon mal taillé et une règle complètement amochée. Elle m'a dit :

"C'est pour tester votre capacité à tracer des courbes (sic !) car vous n'êtes pas des techniciens (sic !)."

Ce à quoi j'aurai dû lui répondre : "et notre capacité à utiliser les méthodes de calcul numérique, on la mesure quand ?". J'ai bien peur que la réponse n'eut été "jamais"...

yoshi · 11-01-2011 09:34:20

Re,

Je vais voir si je peux trouver des exemples de ce que j'avance...
Cher thadrien, ça va plus loin que ça, je suis sûr à 90 % que ce distinguo se faisait de façon explicite dans les énoncés.

(...)pas le droit de passer directement d'une inéquation de type (x-a)^2+(y-b)^2<r^2 à la conclusion que le point de coordonnées (x,y) était à l'intérieur du cercle de centre (a,b) et de rayon r et qu'il fallait faire toute une justification du type :
1) C'est une équation de type "cercle de rayon r".
2) On prend un point à l'intérieur du cercle et on vérifie qu'il vérifie bien l'inéquation.
3) Donc l'inéquation correspond à l'intérieur du cercle et non pas à l'extérieur.

Bin, spontanément, au risque de te fâcher, j'aurai dit :
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 étant l'équation du cercle de centre (a ; b) et de rayon r, le point M de coordonnées (c ; d) tel que OM² < r² est donc à l'intérieur de ce cercle.
Je n'ai pas l'impression, ce faisant, de faire moins de "chichis" que ce contre quoi tu t'insurges...

Je me base là-dessus :
Position relative d'une droite (D) et d'un cercle de centre O et de rayon R, programme de 4e.
H étant le pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur une droite (D) :
OH < R le point est intérieur au cercle, la droite est sécante,
OH = R le point est sur le cercle, la droite est tangente en H au cercle
OH > R la droite est extérieure au cercle.

@+

thadrien · 11-01-2011 13:21:48

Salut,

Tu m'as mal compris car je me suis exprimé beaucoup trop vite. Disons que ma tendance naturelle à être clair et concis (manière élégante de dire que je suis un gros flemmard qui se porte mieux quand il tape sur moins de touches :-) ) a conduit à raccourcir le raisonnement original dont d'ailleurs je me souvient plus très bien.

Ce que tu fais, c'est précisément ce que je voulais faire et que ma prof ne voulait pas que je fasses.

Non, elle, ce qu'elle voulait, c'est que l'on montre que l'intérieur du cercle correspond effectivement à signe "inférieur ou égal dans l'inégalité" et non pas à un signe de type "supérieur ou égal". Pour cela, en plus du point auquel on s’intéressait, il fallait introduire encore un autre point, dont on était sûr qu'il soit à l'intérieur du cercle, pour comparer son "intériorité au cercle" à celle du point de départ.

(Désolé pour les termes du types "intériorité au cercle" et tout et tout. C'est l'Allemand qui déteint sur mon Français...)

yoshi · 11-01-2011 14:00:48

Salut thadrien,

Alors en l'occurrence, il semble que ta prof poussait le bouchon un peu loin...
On aurait pu lui demander comment elle savait que cet autre point était dans le cercle !
Si pour faire une démonstration quelconque, il faut toujours absolument tout justifier de façon explicite, il faudraite remonter jusqu'à la définition de a< b, et passer par b-a ce qui nous oblige aussi à justifier le changement de signe, puis les notions de R+, R-.... and so on.
Et pourquoi pas citer le contenu de chaque définition théorème utilisés, depuis l'origine des apprentissages mathématiques, il y a un juste milieu...

@+

freddy · 11-01-2011 16:05:17

Salut à vous deux,

je pense qu'il faut parfois savoir appeler un chat, un chat.

En l'occurrence, la prof de thadrien m'avait l'air de bien aimer jour avec sa boîte à diptères et ses gants de boxe ...

Sauf si elle considérait que ses petits génies en herbe ne rédigeaient pas assez bien leur solution, ce qui reste encore possible si je me souviens des réponses lapidaires de l'ami thadrien à certaines demandes d'aide :-))

Sinon, je suis d'accord avec yoshi, démontrer n'est pas vérifier et établir n'est pas montrer.

Toutefois, si mes souvenirs sont bons, on nous donnait la définition de l'objet A, puis on nous demandait d'établir que ledit objet avait telle propriété B, sans nous indiquer par le menu toutes les étapes du raisonnement. C'est là où il fallait faire preuve d'imagination, de technique et de rigueur (et surtout d'entrainement).

Je me souviens d'une épreuve de maths à un concours où certains ont passé en vain tout le temps disponible (3h) à essayer vainement de répondre à la première question (et pourtant, il suffisait de vérifier ...) qui conditionnait tout le reste du sujet ...

Barbichu · 11-01-2011 17:07:11

Salut,
là il va me falloir des exemples pour comprendre cette dernière intervention.
Qu'appelles-tu vérifier et établir ? Veux-tu bien donner des exemples de couples (A, B) pour instancier ton post précédent.

Dernière modification par Barbichu (11-01-2011 17:07:49)

freddy · 11-01-2011 17:49:09

Salut Barbichu,

c'est simple.

Je vais m'appuyer sur le joli sujet relatif aux distances d'un point à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 273.

On cherche les points P tels que vérifient la ppté : les 3 distances au trois sommets sont des nombres entiers.

Première vesion : Démontrer qu'un tel point existe ! Démontrer qu'il ne peut être unique. Etablir la relation qui relie les 4 valeurs entre elles.

Second cas : Vérifier que s'il existe, il ne peut pas y en avoir plus de 6. Montrer que que m, n et p vérifient :

[tex]273^4+m^4+n^4+p^4=273^2\times(m^2+n^2+p^2)+m^2\times(n^2+p^2)+n^2p^2[/tex].

Suis je plus clair ?

Et encore, j'ai fait sans étape intermédiaire J'aurais pu demander de vérifier que les coordoonnées (x,y) dans un repère donné vérifiaient tel système d'équation que j'aurais spécifié, puis d'en déduire la suite ...

Dernière modification par freddy (11-01-2011 18:04:18)

Barbichu · 11-01-2011 20:03:27

Re,
désolé, cela ne m'a pas éclairé. Dans les deux cas, il y a les mêmes choses à démontrer. Peut-être que la démonstration est plus simple dans le second cas (car on donne de l'information à l'utilisateur, et encore ...), et rapporte peut-être moins de mérite à l'utilisateur. Mais au final c'est la même démo et ça a la même valeur.
Mais je ne suis même pas sûr que ce soit cela ton point ...
a+

gprbx · 12-01-2011 22:15:05

Bonjour,

J’ai suivi avec intérêt vos discussions sur les méthodes d’enseignement, ce qui est permis ou interdit de dire en classes de collège/lycée, sur le niveau de compréhension des élèves et leur motivation ou non, sur la validité des démonstrations suivant propositions ou expressions mathématiques.

Je me souviens qu’un instituteur (j’avais donc environ 10ans, 11ans à peine) nous avait donné un problème d’un nageur qui parcourait, dans un courant, une certaine distance, puis revenait.
Et soudain, les calculs étant au tableau, quelqu’un (l’instituteur, un élève, moi ?) a demandé :
"Pourquoi le temps perdu contre le courant n’est pas égal au temps gagné avec le courant ?"

L'instituteur a répondu : "Parce que le nageur reste plus longtemps contre le courant qu'aidé par le courant".

Cette réponse m'a tellement saisi, elle ne reprenait que ce qui était calculé, que je m'en souviens encore !
Je pense que cela m'a aidé pendant mes années collège/Lycée à me méfier des raisonnements évidents, et à essayer de penser avec ce que l'un d'entre vous a recommandé : La Logique.
PS : Un jour j'ai réalisé que pour une distance donnée, le temps de parcours n'est pas linéaire avec la vitesse, et cela m'a donné une réponse acceptable.

Espérant que ma petite histoire était acceptable dans ce forum
A+ cordialement : gprbx

freddy · 12-01-2011 22:28:50

Salut gprbx,

la raison profonde est que la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne arithmétique.

Sinon, arrête de penser que le forum n'est réservé qu'au collège-lycée, il y a aussi du supérieur.

Enfin , pour finir mon analogie, la différence fondamentale, pour moi, entre "établir s'il existe une solution et si elle est unique " et le "vérifier qu'il ne peut y avoir au plus que 6 solutions" est que le niveau d'expertise et de sagacité requis dans le premier cas est supérieur au second.

Quand j'ai commencé à "glisser" les réponses à trouver dans les énoncés de mes sujets de M2 en math fi, le niveau moyen des notes s'est considérablement amélioré. Je pouvais enfin exhiber un 10,20 de moyenne, comme mes collègues.

Après, je soumets le tout à une petit processus de normalisation et hop, j'ai une bonne distribution, acceptable et équitable.

Bises de Bâle

thadrien · 13-01-2011 08:34:59

Salut,

@freddy : oui, dans ton cas, il y a bien une différence entre montrer et vérifier. Mais avec yoshi, on parlait de cas beaucoup moins subtils qui étaient uniquement du calcul.

Bis dann.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 10-01-2011 14:13:32

Re : A propos de la réciproque du "théorème" de Pythagore...

#27 10-01-2011 14:34:20

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#28 11-01-2011 09:34:20

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#29 11-01-2011 13:21:48

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#31 11-01-2011 16:05:17

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#32 11-01-2011 17:07:11

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