A propos de la réciproque du "théorème" de Pythagore...

yoshi · 06-01-2011 15:33:24

Bonjour,

Allez, un peu de pédagogie...

J'ai tenté d'accéder sans succès (pas cherché trop longtemps) à une publication de l'IREM se demandant si on pouvait se passer de la réciproque du "théorème" de Pythagoren et si les élèves qui confondaient le théorème et sa réciproque n'avaient pas "un petit peu raison" et l'article faisait référence aux "cas d'égalité" des triangles...
En effet, J'ai pu constater, année après année, que les élèves de 4e, ont beaucoup de mal à faire la nuance (d'autant que se rajoute dessus la notion de "contraposée" qu'on n'évoque pas avec eux d'ailleurs).
La réciproque s'énonce comme suit :
Si, dans un triangle ABC, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle rectangle et l'hypoténuse est ce 3e côté.
Deux cas où la méthode de résolution est la même seule la conclusion diverge...
On leur demande de procéder ainsi
Exemple 1 : AB=3, AC= 4, BC = 5.
| BC² = 5² = 25
| AB²+AC² = 3²+4²=9+16=25
1ere pierre d'achoppement : les calculs séparés
On constate que BC² = AB² + AC², donc le triangle ABC est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Et c'est là que le 2e bât va blesser :
AB=6, BC = 11, AC = 13
| AC² = 169
| AB²+BC² = 6²+11² = 36+121 = 157
On constate que AC² n'est pas égal à AB²+BC²...
Et là, on trouve : Puisque AC² n'est pas égal à AB²+BC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Alors qu'on leur demande de s'arrêter après "rectangle" puisque là, ce n'est plus la réciproque du théorème mais sa contraposée.
Certains ont développé spontanément une 3e voie qui s'avère incorrecte de façon évidente avec le cas n°2
Ils partent du principe (sans le dire) que la réponse est oui, font les calculs en conséquence :
BC² = AB²+AC = 3²+4²=25, donc BC = 5...
Et là, ils réinjectent leur résultat :
BC²=...
AB²+AC²=....
Puisque BC² = AB²+AC² alors le triangle ABC...etc...
Ce qui me faisait ajouter en marge le commentaire suivant, commentaire que je n'ai jamais eu le "culot" d'enseigner, puisque non "orthodoxe"
Ce n'est pas ainsi qu'il est procédé dans le cours. Cependant, tu aurais pu procéder ainsi :
Supposons que le triangle ABC soit rectangle en A.
Alors, dans ce cas, d'après le théorème de Pythagore, le côté [BC] devrait mesurer BC² = AB²+AC = 3²+4²=25, donc 5.
Or, par hypothèse, la longueur donnée de [BC] donnée est bien 5.
Le triangle ABC est donc bien un triangle rectangle (en A).

Et ça, ce n'est pas loin du raisonnement par l'absurde sans le dire (ça l'est en cas de réponse négative) et j'ai toujours pensé que ça permettrait de contourner les difficultés.
Petit bémol : on est là sur le fil du rasoir, il ne faut pas oublier certains petits mots...
Mais, d'un autre côté, avec la méthode "classique", on est bien aussi sur le fil du rasoir, s'pas ?

A noter que le "problème" réapparaît à l'identique en 3e avec le théorème de Thalès et sa réciproque...

Voilà, un peu de finesse dans un monde de brutes, de brut, diraient les attardés du réveillon.. :-)
Qu'en pensez-vous ?

@+

Barbichu · 06-01-2011 18:00:40

Bonsoir,

et bonne année 2011 à tous !

yoshi a écrit :

Si, dans un triangle ABC, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle rectangle et l'hypoténuse est ce 3e côté.

Je valide l'énoncé de "la réciproque du théorème de Pythagore".

yoshi a écrit :

Deux cas où la méthode de résolution est la même seule la conclusion diverge...
On leur demande de procéder ainsi
Exemple 1 : AB=3, AC= 4, BC = 5.
| BC² = 5² = 25
| AB²+AC² = 3²+4²=9+16=25
1ere pierre d'achoppement : les calculs séparés
On constate que BC² = AB² + AC², donc le triangle ABC est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

C'est ici bien la réciproque du théorème de Pythagore qui intervient !

yoshi a écrit :

Et c'est là que le 2e bât va blesser :
AB=6, BC = 11, AC = 13
| AC² = 169
| AB²+BC² = 6²+11² = 36+121 = 157
On constate que AC² n'est pas égal à AB²+BC²...
Et là, on trouve : Puisque AC² n'est pas égal à AB²+BC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Alors qu'on leur demande de s'arrêter après "rectangle" puisque là, ce n'est plus la réciproque du théorème mais sa contraposée.

Oui, il s'agit bien de la contraposée du théorème de Pythagore (qui est à une tautologie près le-dit théorème), et pas du tout sa réciproque.

yoshi a écrit :

Certains ont développé spontanément une 3e voie qui s'avère incorrecte de façon évidente avec le cas n°2
Ils partent du principe (sans le dire) que la réponse est oui, font les calculs en conséquence :
BC² = AB²+AC = 3²+4²=25, donc BC = 5...
Et là, ils réinjectent leur résultat :
BC²=...
AB²+AC²=....
Puisque BC² = AB²+AC² alors le triangle ABC...etc...
Ce qui me faisait ajouter en marge le commentaire suivant, commentaire que je n'ai jamais eu le "culot" d'enseigner, puisque non "orthodoxe"
Ce n'est pas ainsi qu'il est procédé dans le cours. Cependant, tu aurais pu procéder ainsi :
Supposons que le triangle ABC soit rectangle en A.
Alors, dans ce cas, d'après le théorème de Pythagore, le côté [BC] devrait mesurer BC² = AB²+AC = 3²+4²=25, donc 5.
Or, par hypothèse, la longueur donnée de [BC] donnée est bien 5.
Le triangle ABC est donc bien un triangle rectangle (en A).

Ce raisonnement est faux. Il est de la forme : "On suppose H, on ne trouve pas de contradiction. Conclusion : H est vrai en général"
(remplacez ensuite H par "ABC est rectangle en A" )
Ici, on ne peux en aucun cas s'en sortir sans invoquer la réciproque du théorème de Pythagore.

yoshi a écrit :

Et ça, ce n'est pas loin du raisonnement par l'absurde sans le dire (ça l'est en cas de réponse négative) et j'ai toujours pensé que ça permettrait de contourner les difficultés.
Petit bémol : on est là sur le fil du rasoir, il ne faut pas oublier certains petits mots...

Dans le "cas négatif", le raisonnement est de la forme : "Supposons H, on trouve une contradiction, donc H est faux en général"
Et cette fois-ci est correct.
Petit mot ou pas, le "cas négatif" (comme tu le dis) utilise (comme tu le dis aussi) un "raisonnement par l'absurde" et le cas positif est une erreur de raisonnement.

yoshi a écrit :

Mais, d'un autre côté, avec la méthode "classique", on est bien aussi sur le fil du rasoir, s'pas ?

Que veux-tu dire ?

++

Dernière modification par Barbichu (06-01-2011 23:38:49)

yoshi · 06-01-2011 18:47:11

Salut ô Barbichu,

1. J'ai bien dit dans le 1er cas : réciproque. Tu es d'accord, c'est bien, mais je n'avais aucun doute...

2. J'ai bien dit dans le 2e cas :contraposée. Tu es d'accord, c'est bien, mais je n'avais aucun doute...
J'ai ajouté qu'on demandait simplement de ne pas ajouter "D'après la réciproque...", puisque ce n'est pas le cas.
J'ai ajouté aussi qu'on ne leur expliquait pas ce qu'est une contraposée.

3. Cas des longueurs 5,9,12 :
Et si je dis : si le triangle est rectangle alors avec 5 et 9, le théorème de Pythagore me donne [tex]\sqrt{126}/tex].
Or l'énoncé me donne me donne 12 : le triangle n'est pas rectangle. Raisonnement par l'absurde pur.

4. Cas des longueurs 5,12,13.
Je dis : si si le triangle est rectangle alors avec 5 et 12, le théorème de Pythagore me donne 13 pour le 3e côté. L'énoncé me disant que ce côté mesure bien 13, j'en conclus que ce triangle est bien rectangle.
Et là, tu dis : erreur de raisonnement...
Diable ! Tu veux dire que je trouve 13, l'énoncé me donne 13, je conclus à la véracité de la chose et tu me dis non ?
Je confronte bien mon résultat à celui donné par l'énoncé : je cherche une contradiction, d'accord, je la trouve pas et je conclus faussement...
Là, ce n'est pas que je n'ai pas trouvé de contradiction, j'ai par un raisonnement bien vérifié les données de l'énoncé. Sens-tu ma nuance ?
En l'espèce, peux-tu me donner un contre-exemple sur ce cas précis ?
A moins que tu me dises que ce raisonnement est dangereux parce que pas toujours fiable ?
As-tu un contre-exemple aussi sous la main ? Ça m'éviterait de chercher...

5. Par "aussi sur le fil du rasoir", j'entends que là aussi, il faut bien respecter la procédure :
calculs séparés, comparaison des résultats, conclusion... Je parle pour les mômes, moi je ne suis pas sur le fil du rasoir, hein...
Eux par contre, ils ont bien vite fait d'attaquer directement via BC²=25=AB²+AC²=9+16=25, ce qui aboutit lorsqu'il n'est pas rectangle, avec 5,9,12, à écrire 106=144, pour dire après que ce n'est pas égal.
Chose qu'on leur reprochait systématiquement.
Ils ont aussi bien vite fait de citer la réciproque...

@+

tibo · 06-01-2011 18:57:18

Yop,

Barbichu a écrit :

Yoshi a écrit :
Et c'est là que le 2e bât va blesser :
AB=6, BC = 11, AC = 13
| AC² = 169
| AB²+BC² = 6²+11² = 36+121 = 157
On constate que AC² n'est pas égal à AB²+BC²...
Et là, on trouve : Puisque AC² n'est pas égal à AB²+BC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Alors qu'on leur demande de s'arrêter après "rectangle" puisque là, ce n'est plus la réciproque du théorème mais sa contraposée.
Oui, il s'agit bien de la contaposée du théorème de Pythagore (qui est à une tautologie près le-dit théorème), et pas du tout sa réciproque.

C'est bien beau tout ça mais il me semble que l'on a pas le droit d'utiliser le mot contraposé au collège.
Moi meme j'ai appris l'existence de ce mot barbare en terminale

Alors deja que les élèves mélangent pas mal le théorème et sa réciproque, je pense que beaucoup d'enseignant s'autorisent ce petit écart pour éviter de les embrouiller encore plus.

Avec mon élève de 4° j'ai contourné la difficulté en disant que les phrases
"ABC triangle rectangle en A " et "BC² = AB² + AC²" voulaient dire la meme chose.
Si on a l'un, on a l'autre; et si on n'a pas l'un, on a pas l'autre.
Et en devoir, il met d'apres Pythagore, et ça passe.
(meme chose avec les autres caractérisations du triangle rectangle (médiane et cercle))

Si j'étais prof, j'aurais surement pas le droit de dire ça, mais bon au moins je pense qu'il a compris

yoshi · 06-01-2011 19:54:59

Re,

tibo a écrit :

C'est bien beau tout ça mais il me semble que l'on a pas le droit d'utiliser le mot contraposée au collège.

Tout à fait... Il y a des même des profs qui n'en connaissent pas la signification, ce qui ne les empêche pas de travailler dans les règles de l'art.
Tu peux citer le mot, comme ça une fois en passant quand tu dis : ce que l'on fait là n'est pas la réciproque du théorème, c'est déjà assez difficile de leur faire comprendre en quoi ce n'est pas la réciproque...
C'est bien pourquoi nous ne sanctionnions pas en général, quand ce n'était pas le cas, l'emploi du mot réciproque. On se contentait de biffer la mention et de re-re-re...signaler que ce n'était pas juste.
Ainsi que je l'ai dit, en 3e avec réciproque du théorème de Thalès c'est le même constat qui est fait...

Dans les interdits, en classe de 4e, il y a celui du symbole de la racine carrée : tu peux (et est obligé de) faire utiliser la touche de la calculette qui comporte ce même symbole, mais tu n'as pas le droit de l'utiliser en tant que tel : réservé 3e....

@+

Fred · 06-01-2011 21:19:49

yoshi a écrit :

4. Cas des longueurs 5,12,13.
Je dis : si si le triangle est rectangle alors avec 5 et 12, le théorème de Pythagore me donne 13 pour le 3e côté. L'énoncé me disant que ce côté mesure bien 13, j'en conclus que ce triangle est bien rectangle.
Et là, tu dis : erreur de raisonnement...
Diable ! Tu veux dire que je trouve 13, l'énoncé me donne 13, je conclus à la véracité de la chose et tu me dis non ?
Je confronte bien mon résultat à celui donné par l'énoncé : je cherche une contradiction, d'accord, je la trouve pas et je conclus faussement...
Là, ce n'est pas que je n'ai pas trouvé de contradiction, j'ai par un raisonnement bien vérifié les données de l'énoncé. Sens-tu ma nuance ?
En l'espèce, peux-tu me donner un contre-exemple sur ce cas précis ?
A moins que tu me dises que ce raisonnement est dangereux parce que pas toujours fiable ?
As-tu un contre-exemple aussi sous la main ? Ça m'éviterait de chercher...

C'est un peu comme si tu utilisais le théorème suivant : Si un entier est plus grand que 5, il est plus grand que 2.

Ce théorème est vrai, bien sûr. Maitenant, l'énoncé te donne 4. 4 est plus grand que 2, donc tu conclus que 4 est plus grand que 5.

Pour revenir à la discussion concernant le théorème de Pythagore, voici ce que les programmes officiels du collège en disent depuis 2008 (sans doute le moment charnière de la retraite de notre modérateur préféré) :

Programme officiel a écrit :

On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct
de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On
considère que l’égalité de Pythagore caractérise la
propriété d’être rectangle.

Finalement, c'est bien Tibo qui est dans le vrai!!

Fred.

PS : Comme quoi ca a du bon d'être responsable d'un master enseignement...

yoshi · 06-01-2011 21:52:01

Re,

On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On
considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle.

Ouh là...
Ça mérite d'être creusé...
J'aimerais bien voir les documents d'accompagnement qui vont avec, pour être sûr ce de ce que ça veut dire : je vais chercher...
A jeter un œil dans mes manuels, oui, ils sont antérieurs ...
Fichtre, à relire, j'en causerai avec mes mes collègues la prochaine fois que je les vois, c à d jeudi prochain (j'y vais tous les jeudi animer un Club d'échecs : j'ai une vingtaine de joueurs qui ont la tête aussi dure que la mienne : heureusement, là, c'est plus facile pour moi de faire la preuve s'ils sont dans l'erreur.), il y en a forcément un qui a assisté aux journées de présentation des nouveaux programmes (enfin, j'espère)
Boufre, je ne suis pas sûr d'aimer ce que je lis : va vraiment falloir que je dégotte un bouquin avant jeu prochain : c'est trop long !...
Je sens qu'il y en a qui vont discutailler ferme pendant les corrections (et qui ont dû)...

Ok, pour le contre-exemple, je me doutais déjà que ça n'avait pas valeur universelle, donc douteux...
Ceci dit, j'insiste, je ne teste dans ce cas précis pas n'importe quoi (tout particulièrement sur des inégalités) : je contrôle une égalité numérique...
Je n'indiquais ce procédé, et encore en marge qu'à cette occasion : j'en avais discuté avec mes collègues et il avait été conclu qu'il ne fallait pas l'utiliser dans le cadre du cours parce que hors procédure officielle...
Je pense que, tout comme moi, personne n'était allé voir plus loin, c'est un peu dommage.

L'ensemble des a plus grands qu'un b donné n'est pas un singleton c'est bien connu (et je ne l'ignore quand même pas :-) ), mais l'ensemble des nombres b égaux à un nombre a donné n'est pas très "fourni", hein, et c'est un euphémisme...

@+

Barbichu · 06-01-2011 23:59:35

Re,
Hé oui, quelques soient les données que tu manipules, et même si ce raisonnement ne fait intervenir que des assertions qui se trouvent être par ailleurs vrais (si l'on enlève certains connecteurs logique). Ton raisonnement ne constitue pas une démonstration valide.
La logique est une discipline (à cheval entre les mathématiques et l'informatique) qui est parfois contre-intuitive et qui est malheureusement inconnue ou méconnue de nombreux mathématiciens (et même de haut niveau). C'est peut-être l'une des choses que je déplore le plus : qu'elle ne soit pas enseignée dans les cursus de math "standards" (pour quelqu'un qui ne choisi jamais délibérément de faire de la logique).
Pourtant, elle seule permet d'énoncer une définition formelle de ce qu'est une "démonstration valide".
a+

Barbichu · 08-01-2011 14:18:03

Salut,
J'ai un exemple peut-être plus frappant, qui devrait peut-être te convaincre.
Au début j'avais pensé au célèbre exemple de sophisme "Tous les chats ont quatre pattes, or mon chien à quatre pattes donc c'est un chien", mais c'est en somme le même type de contre-exemple que celui que Fred a donné, donc j'ai trouvé autre chose.

Supposons que la démonstration suivante est correcte :

Soit ABC un triangle tel que AB=3, AC= 4, BC = 5.
Supposons que le triangle ABC soit rectangle en A.
Alors, dans ce cas, d'après le théorème de Pythagore, le côté [BC] devrait mesurer BC = sqrt(AB²+AC²) = sqrt(3²+4²)=sqrt(25), donc 5.
Or, par hypothèse, la longueur donnée de [BC] donnée est bien 5.
Le triangle ABC est donc bien un triangle rectangle (en A).

Pour tout entiers x et y, on pourrait remplacer brutalement 3 par x, 4 par y et 5 par sqrt(x² + y²), le raisonnement devrait rester tout aussi correct.
Cela donne donc, pour tout entiers x et y :

Soit ABC un triangle tel que AB=x, AC= y, BC = sqrt(x²+y²).
Supposons que le triangle ABC soit rectangle en A.
Alors, dans ce cas, d'après le théorème de Pythagore, le côté [BC] devrait mesurer BC = sqrt(AB²+AC²) = sqrt(x²+y²)
Or, par hypothèse, la longueur donnée de [BC] donnée est bien sqrt(x²+y²).
Le triangle ABC est donc bien un triangle rectangle (en A).

Ce qui revient à prouver la réciproque du théorème de pythagore en utilisant exclusivement le théorème lui-même.

Autrement dit, si ta démonstration est juste, la réciproque du théorème de Pythagore est une conséquence directe du-dit théorème. (Il arrive parfois que ce soit le cas, mais pas avec ce théorème, et pas avec ce genre de démonstration ...)

a+

Dernière modification par Barbichu (08-01-2011 15:28:57)

yoshi · 08-01-2011 14:51:21

Re,

Je suis un peu d'accord : je ne conçois pas où est l'erreur de raisonnement, mais sur ta conclusion, je peux adhérer.
Toutefois, j'attends encore un contre-exemple numérique chiffré basé sur l'égalité et qui conduirait à une conclusion fausse.
Pour faciliter la tâche des contradicteurs, je vais essayer de généraliser.
Je considère une situation géométrique (cas particulier d'un cas général) caractérisable par un calcul numérique conduisant à une égalité.
Autrement dit, soit une situation géométrique dans laquelle, à partir du moment où elle est avérée, à l'aide de n données figurant en hypothèses, on aboutit après calculs à une (n+1)e valeur numérique.
Une réciproque pourrait être : si dans une certaine situation géométrique donnée, à partir des n premières données numériques, on en tire la n+1e, alors on est dans le cas particulier en question.
J'avais pensé inclure Thalès et sa réciproque dans le lot, mais là ça posait problème avec l'ordre des points : si on en fait mention, il n'est plus question d'être dans le théorème direct, mais on s'engage dans la vérification du fait que la réciproque est vérifiée ou non.

Cela dit, il semble que les Instructions officielles nouvellement parues (Fred dixit), si j'ai bien interprété cette formulation que je trouve curieusement ampoulée, font l'impasse là-dessus et puisqu'il y a 50 % d'erreur là-dessus, hop ! Comme d'hab, on gomme...
Et on résume tout à : "C'est dû au théorème de Pythagore"...

Programme officiel a écrit:
On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct
de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On
considère que l’égalité de Pythagore caractérise la
propriété d’être rectangle.

OK ! C'est efficace...
D'ailleurs, le même problème se retrouvant en 3e avec Thalès et sa réciproque, la "logique" (celle qui conduit à l'élaboration des programmes et Instructions Officielles y afférentes) voudrait que ce cas subisse le même sort...

Et t'as bien fait de laisser tomber ton histoire de chat et de chien, comparaison n'est pas raison, et ça n'a rien à voir...

Et je précise encore, tiens au passage, que je ne suis pas systématiquement contre les changements des programmes.
Il y en a que j'approuve :
- la suppression de l'étude des fonctions, applications, bijections en 5e...
- la suppression de l'étude des groupes en Collège (éventuellement abéliens : j'ai oublié le niveau : je peux peut-être retrouver)
- la suppression de l'étude des Barycentres en 4e.
Si, si, il y a 20 ans, j'ai dû l'enseigner : c'était le temps glorieux des Maths modernes...
Le temps où un Inspecteur, très fier de sa progéniture, nous confiait que son fils pointant du doigt 2 tas d'objets lui avait déclaré : << Ces deux ensembles sont équipotents ! >>...

@+

Barbichu · 08-01-2011 15:26:50

Re,

yoshi a écrit :

Et t'as bien fait de laisser tomber ton histoire de chat et de chien, comparaison n'est pas raison, et ça n'a rien à voir...

Même tourné ainsi ?
Soit [tex]C[/tex] un animal ayant 4 pattes.
Supposons que [tex]C[/tex] soit un chat
Alors dans ce cas, d'après le théorème "tous les chats ont 4 pattes", [tex]C[/tex] devrait avoir 4 pattes.
Or, par hypothèse, on sait que [tex]C[/tex] a bien 4 pattes
[tex]C[/tex] est donc bien chat
Je comprendrais que tu refuses, mais moi je trouve la ressemblance frappante, (en plus tu as une égalité numérique : 4 pattes = 4 pattes).

Quant au nouveau programme, au final, il ne fait que tirer parti du fait que le théorème original et sa réciproque soient tout deux vrais pour appeler désormais "théorème de Pythagore" l'équivalence entre le fait d'avoir la propriété AB² + BC² = AC² et le fait d'être rectangle en B. C'est sûr que ça dé-complexifie les raisonnements puisqu'on ne se demande plus quel sens de l'équivalence on utilise. Ça évite donc les erreurs de raisonnement par absence de réflexion ... Reste à déterminer ce qu'on veut : que les élèves se trompent moins ou qu'il réfléchissent plus ?

a+

yoshi · 08-01-2011 15:46:21

Re,

Même tourné ainsi : il n'y a pas là de résultat caractérisé par l'aboutissement d'un "cunu"...
Ramener la caractérisation du chat au fait qu'il ait 4 pattes est un "léger", non ?...

Reste à déterminer ce qu'on veut : que les élèves se trompent moins ou qu'il réfléchissent plus ?

Je vois que tu m'as lu entre les lignes...
C'est la bonne question, et si toute réponse est un "pari" sur l'avenir, alors je poserai une question subsidiaire :
Peut-on prendre ce genre de pari ?
Je pense que gprbx, dans sa future discussion, aura des choses à dire là-dessus notamment...

@+

thadrien · 08-01-2011 16:22:44

Barbichu a écrit :

Reste à déterminer ce qu'on veut : que les élèves se trompent moins ou qu'il réfléchissent plus ?

On peut très bien faire les deux : lâcher du lest sur la réflexion dans les cas où elle est moins utile pour libérer du temps et des ressources mentales pour réfléchir plus justement lorsque l'on en a besoin.

Ce qui est vraiment dommage, par contre, c'est que l'on ne voie pas le raisonnement par équivalence. C'est dommage car je trouve que le raisonnement par équivalence est à la logique ce que la résolution d'une équation est au calcul : on manipule l'expression jusqu'à ce qu'elle devienne facile à traiter, tout en conservant une lien logique entre les expressions.

De même, c'est dommage que l'on ne voit pas la logique plus en profondeur. Dommage, et peut-être même également injuste : comment reprocher à un élève de faire une erreur de logique, si on ne lui a pas donné les outils pour voir en quoi il fait une erreur de logique ?

Pour la plupart des élèves, faire une erreur de logique, c'est simplement faire "différent du prof". Or, faire "différent du prof" n'est pas un critère de justesse ou de fausseté d'un raisonnement logique car le prof peut très bien lui-même se tromper (même si c'est plus rare que les élèves).

Je sais que l'on ne doit pas enseigner à un niveau n+1 si l'on est à un niveau n, mais il ne faut pas oublier que le cerveau humain n'a pas un rendement de 100 % entre ce que l'on tente d'apprendre et ce que l'on est capable de restituer. Et puis, voir un peu plus loin permet de montrer au élèves que ce qu'ils font ne sert pas "à rien" ou pire "seulement à les évaluer". Ces deux idées ont hélas la vie dure.

Dernière modification par thadrien (08-01-2011 16:27:32)

yoshi · 08-01-2011 16:52:16

Re,

Hmmm...
Faut que je laisse du temps au temps : je crois bien me souvenir que du temps des "maths modernes", on voyait des "tables de vérité". A confirmer !

Tu as raison, dans l'absolu : le hic c'est que le cerveau n'est pas comme certaine marque de pile : il s'use si on ne s'en sert pas.
Moins on le sollicite, et moins il sera capable d'être sollicité : je n'ai pu que constater qu'après tous les "grattages" successifs de programmes, il n'y a pas moins d'erreurs qu'avant. Mais de toutes façons, le public des profs de Collège a changé dans sa composition et dans ses capacités...
Une seule question : pourquoi faut-il attendre la classe de 5e pour exiger (enfin... espérer) qu'un élève sache , sans calculette, et en utilisant des "nombres fréquentables" calculer un quotient décimal exact ou approché, lorsque le diviseur est lui-même décimal ?

Je pense que c'est en Collège que tout se joue...

@+

Barbichu · 08-01-2011 17:58:19

Re,

yoshi a écrit :

Même tourné ainsi : il n'y a pas là de résultat caractérisé par l'aboutissement d'un "cunu"...
Ramener la caractérisation du chat au fait qu'il ait 4 pattes est un "léger", non ?...

Je crois qu'on a mis le doigt sur le problème : tant qu'on invoque pas la réciproque du théorème de Pythagore, le théorème de Pythagore lui même n'apporte pas a priori une meilleure caractérisation du triangle que le fait d'avoir quatre pattes ne caractérise le chat !
Je suis tout à fait d'accord que dans le cas de Pythagore, tout est dans le a priori, sauf que pour le lever, il y a obligation de citer la réciproque. Chose qu'on ne pourrait pas évidemment pas faire pour le chat. Chose qui fait que le résultat est juste pour le triangle, alors que le raisonnement lui-même est faux s'il se dispense d'invoquer la réciproque.

J'espère ne pas avoir empiré les choses.
Bonne soirée, pour de vrai cette fois-ci.

yoshi · 08-01-2011 18:01:27

Re,

Voilà qui commence à devenir passionnant...
Je vais penser et essayer de voir ce que tu dis avec ton "a priori".

@+

thadrien · 08-01-2011 18:09:59

Salut,

@yoshi : ce que je veux dire, c'est que si l'on veut que les élèves retiennent 100 % du programme officiel, il faut justement leur enseigner 120 % de ce programme ! Et non pas faire comme on fait actuellement, réduire les programmes à ce que les élèves retiennent, vu que plus on réduit les programmes, moins ils en retiennent.

Il y a un seul domaine ou le taux d'apprentissage peut être de 100 %, c'est la récitation. Même si le par coeur est indispensable, faire travailler les élèves en mathématiques uniquement par de la récitation de ritournelles est un travail qui ne fonctionne bien qu'à court terme : ils réussiront très bien leur brevet des collèges, mais se planteront à l'université, vu qu'ils n'auront pas été formés à la réflexion.

Par contre, même si il faut toujours former les élèves à la réflexion, avoir des méthodes est indispensable. En effet, les méthodes permettent de résoudre sans peine les problèmes "faciles" pour justement pouvoir consacrer son intelligence à des problèmes plus subtils.

tibo · 08-01-2011 18:59:21

Yop,

"Les programes scolaires, c'est comme le jeu de la tour ou il faut enlever des morceaux pour les mettreau dessus sans que la tour tombe, et c'est aux prof de s'arranger pour que ça tangue pas trop"
Je ne sais plus ou j'avais vu ça mais c'est assez représentatif.

Entièrement d'accord avec Thadrien. Enfin si les élèves retenaient déja 80%, on serait deja content.

Dans un des liens du monde donné par yoshi, un type témoignait qu'il avait renoncé d'etre prof en france à cause de l'esprit bachotage. On apprend des théorèmes, des formules, parfois meme des méthodes par coeur, sans chercher à comprendre qu'il y a un raisonnement logique derrière.
Franchement, qu'est ce qu'on s'en fout (pardonnez moi le language) du théorème de Pythagore et autre pécadilles. Ce devrait etre des outils pour apprendre à réflèchir et à raisonner.
Une grande partie de la population ont presque oublié tout ces trucs et ne s'en portent pas plus mal. Par contre ne pas savoir réfléchir correctement, ça peut etre particulièrement handicapant.
Voila c'était ma minute révolutionnaire.

Et puis, je rale mais avec mon élève de 4°, je fais pareil. Je lui donne une méthode et une redaction "à trous", il n'a plus qu'a remplacer les trous en fonction de l'énoncé. Cela lui permet d'avoir facilement entre 10 et 13, sans vraiment comprendre.
Je ne suis pas tres fier, mais grace à ça il est passé de 4-5 de moyenne, à 11-12...

Un grand regret est quand meme l'utilisation de la calculatrice, incapable du calculs mentals, meme tres simples, et ce jusqu'en terminale. (Apres le bac, ceux qui continuent les math se débrouillent un peu mieux)

Dernière modification par tibo (08-01-2011 19:00:38)

yoshi · 08-01-2011 19:12:38

Re,

Thadrien, je te suis, mais nous ramons dans ce cas tous les deux à contre-courant...
Personnellement, c'est ce que j'ai fini par faire, en veillant à ce que les notes soient conformes au standard : mes interros étaient conçues pour que l'on puisse s'assurer 10/20 en 20-25 min...
Après, il fallait gratter : jusqu'à 14/15 c'était à la portée des élèves travailleurs, au delà : la lime à ongles pour gratter ne suffisait pas.
Cela dit, travailler "à la frange" comme ça, c'était limite limite réglo : "Border Line": tout ce qui n'était spécifiquement spécifié comme interdit, je le considérais comme "autorisé", pour autant je n'enseignais pas à un niveau n+1, j'y veillais...

Et généralement, ça se retrouvait dans les DM ou petit bonus en fin d'interros pour ceux qui avaient du temps : il m'est arrivé d'avoir 22/20 et donc, je mettais 2 pts en réserve pour la fois suivante...

Par exemple des factorisations, via forme canonique (sans la citer) sur des exemples s'y prêtant sans trop de technicité, présentés comme des "différences de 2 carrés cachées", z'en ont mangé en DM.
Ou comme des exos de réflexion (peu appréciés d'ailleurs...) sur les racines.
Exemple de travail à la maison qui reste "dans les clous" des programmes (à part le petit couplet sur la "vituosité technique" peut-être...), non conventionnel et déstabilisant dans un premier temps (c'est voulu).
(ça intéressera peut-être tibo...)

Exercice 1
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier votre réponse.
1. 3 est la moitié de [tex]3\sqrt 2[/tex]
2. [tex](2\sqrt 3-1)(2\sqrt 3 + 1)[/tex] est un nombre entier
3. [tex]\sqrt 8 + \sqrt{50}=\sqrt{98}[/tex]
Exercice 2
1- Résoudre chacune des équations suivantes où x, y, z sont des nombres positifs :
3x² = 69,12
3y² = 30,72
3z² = 7,68
2- On considère maintenant l'expression suivante :
[tex]A = \sqrt{69,12}-\sqrt{30,72}-\sqrt{7,68}[/tex]
Déduire du 1e la valeur exacte de A, en indiquant les étapes successives.
Exercice 3
Rappel définition : on dit qu'un nombre b (différent de zéro) est l'inverse d'un nombre a (différent de zéro) si et seulement si a x b = 1. On a donc [tex]a=\frac 1 b[/tex] et [tex]b=\frac 1 a[/tex] .
Ainsi [tex]\sqrt 2[/tex] et [tex]\frac{1}{\sqrt 2}[/tex] sont des inverses (et aussi [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]) parce que [tex]\sqrt 2 \times \frac{1}{\sqrt 2}[/tex] = 1 ( [tex]\sqrt 2 \times \frac{\sqrt 2}{2}=1[/tex])
En vous servant de la définition ci-dessus, répondre aux questions (en justifiant) :
1.) L'inverse de [tex]\sqrt 2 +1[/tex] est-il [tex]\sqrt 2 - 1[/tex] ?
2.) [tex]\frac{1}{\sqrt 8 - \sqrt 3}[/tex] et [tex]\frac{2\sqrt 2 +\sqrt 3}{5}[/tex] sont-ils égaux ?

Ils n'étaient pas lâchés dans la nature avec un grand dém..-vous !
Ils avaient pour mission de s'y prendre tôt (z'avaient 3 semaines par DM et 2 à 3 DM par trimestre ), de venir avec à la pêche aux éclaircissements avec des "biscuits" (comme ici, quoi...).
Pour l'exercice 3, question 2, pour empêcher le grand frère, l'oncle, le facteur... de les faire utiliser la quantité conjuguée (hors prog, alors que la notion d'inverse arrive en 4e), j'ai été obligé (mais c'était prévu) de leur dire

En remarquant que [tex]\frac{1}{\sqrt 8 - \sqrt 3}[/tex] est l'écriture de l'inverse du nombre [tex]\sqrt 8 - \sqrt 3[/tex], remplacer la question posée par une question du type : << le nombre a est-il l'inverse du nombre b ? >>.

Mais ça n'a pas été suffisant pour tous quand même, faut pas rêver....
@+

[EDIT]
D'accord aussi tibo...
Je dois dire que c'est l'état d'esprit qui commence à germer aujourd'hui : il me semble bien que de mon temps, mes profs ont été plus axés sur le savoir-faire que le savoir tout court.
Et je me rappelle l'avoir regretté quand 1 an ou 2 ans après, je me disais : << Ah ! c'était pour ça ! pourquoi ne m'a-t-on rien dit à l'époque, ça m'aurait facilité la tâche ??? >>

Vala, moi, c'était ma minute "Ancien Combattant"...

Dernière modification par yoshi (08-01-2011 19:21:26)

yoshi · 08-01-2011 21:01:24

Re,

Ouh le garnement...
Oula, j'aurais jamais trouvé !
Quoi donc ? La factorisation sans discriminant ? A ton niveau t'es censé savoir faire ça "les doigts dans le nez" et pouvoir justifier chaque étape !

On parlait de factorisation de -2x²+10x-8 type écriture sous forme canonique...
Réponse du "garnement" (de TS) :

Oui mais je ne relis pas mes cours de seconde tous les jours ! Alors quand il y a un exercice et qu'il porte sur un truc de la seconde, non je n'men souviens pas !

Intéressante, comme réponse, non ?

@+

thadrien · 08-01-2011 22:22:26

C'est marrant, j'allais justement la citer dans cette discussion.

C'est le problème de l'enseignement au collège : on fait trop travailler la mémoire à court terme. On fait un chapitre sur un truc, puis le contrôle sur le truc, et zou, oublié, on passe au truc suivant : chapitre puis contrôle, et ainsi de suite. Et, un beau jour, on doit faire un examen un peu plus gros et réviser d'un coup tout ce qui a été appris à court terme avant, et donc oublié. Je pense au cas du bac notamment, pour le brevet c'est atténué par le contrôle continu...

J'ai deux exemples sous la main : un prof de maths du collège qui nous a fait apprendre les tables de 11, 12, 13 et 15, truc dont on n'a jamais plus entendu parler ensuite...

De même, le prof d'Anglais qui nous faisaient apprendre et réciter un texte par coeur régulièrement, tous oubliés dès qu'il fallait apprendre le texte suivant. Tout ça, c'est de la mémoire à court terme. Elle est certes très utile, mais elle ne permet en aucun cas de construire un savoir solide.

Je me souvient d'ailleurs de mes disputes à l'époque avec ma mère : "- Tu n'as pas appris ta leçon d'Anglais - Non, ce n'est pas une leçon, c'est un texte ! - Tu dois l'apprendre donc c'est une leçon ! ' C'est pas une leçon ! Une leçon, c'est du savoir, ce truc, c'est un vulgaire texte que l'on aura oublié dès la semaine prochaine...". Au total, 5,5 heures de colle pour cela. Moins que ce qu'à eu un gars qui m'a tiré dessus à la sarbacane, à 2 cm de l'oeil droit. Il a eu seulement 4 heures.

En plus de cela, 1,5 heure de colle car j'avais oublié d'encadrer en rouge un des théorèmes du cahier de maths (!).

Au prix des heures de colle, ils auraient bien mérité des boules puantes et des fumigènes. :-D Maintenant, j'en ris et j'en discute à coeur ouvert, mais sur le coup, j'en ai pas ri beaucoup.

yoshi · 08-01-2011 22:33:01

Re,

Vi, vi... Sauf que là, le mec il est en TS quand même !? J'espère qu'il n'a pas été conduit en TS, une bayonnette dans le dos, hein ?
C'est (c'était) la réflexion favorite des élèves quand ils disaient en 3e : oui, mais la 6e et la 5e, c'est loin ! Avec le "Oui, c'est normal, vous vous savez faire : v'sêtes prof de Maths..."
Jusqu'à Fred qui nous avait confié que, "torturant" un étudiant ne sachant pas faire un exo, il finit par lui dire :
<< J'espère que vous rendez compte quand même que vous appris ça en 1ere S ! >>
Et l'autre de lâcher tout à trac :
<< Oui... mais c'est loin ! >> :-))

Même à ce niveau !

En plus de cela, 1,5 heure de colle car j'avais oublié d'encadrer en rouge un des théorèmes du cahier de maths (!).

Scandaleux et ridicule...
En l'occurence, malheureusement, le ridicule ne tue pas...
Le mec, il prenait de sacrés risques : il y en a qui ont eu de gros soucis pour moins que cela...

@+

thadrien · 09-01-2011 11:16:17

yoshi a écrit :

Montrer que A = B.
Si on part de A pour aller à B : démonstration...
Si on montre que A-B = 0 : Vérification...
Et, à moi, on m'a seriné durant mes années de Lycée : si on dit démontrer et que vous vérifiez ce n'est pas bon !

Clairement, tu es en droit de retourner voir ce prof avec tes copies sous-notées à cause de ce point et avec un dictionnaire sous la main.

Qu'on soit en cours de maths ou d'autre chose, depuis l'ordonnance de Villers-Cotteret, la seule langue officielle de la France est le Français. D'après le dictionnaire Larousse (version en ligne) :

démontrer : Faire une démonstration, prouver quelque chose, l'établir par un raisonnement de type déductif

vérifier : Soumettre quelque chose à un examen, à une confrontation avec des faits, des preuves pour en contrôler l'exactitude

Les deux sont des démonstrations mais aucune des deux est une vérification. Une vérification aurait par exemple consisté à prendre des valeurs numériques des deux côtés. Par abus de langage, on intervertit un peu les deux, mais quand on se permet d'être pointilleux comme ton prof, il faut être sûr de soi.

Je crois que le plus grave dans tout ceci, c'est que cela révèle un manque de formation de ton prof : il confond les expressions mathématiques et les propositions mathématiques. Par exemple, si je veux démontrer que si A alors B, avec A et B des propositions, il faut faire :

si A alors trucmuche
si trucmuche alors blabla
si blabla alors B

Donc, si A alors B.

Tu ne peux pas partir de B car tu ne sais pas que B est vrai avant la démonstration, vu que précisément c'est ce que tu dois démontrer.

Par contre, si A et B sont des nombres, rien n'empêche de prendre leur différence, vu qu'ils sont préexistants à la démonstration :

A - B = trucmuche
trucmuche = blabla
blabla = 0

Donc A = B

C'est une démonstration parfaitement valide, car les nombres A et B sont préexistants à la démonstration. Tu ne les connais pas, tu ne connais pas leur différence, mais ils existent malgré tout avant la démonstration. Comme ils existent, tu peux calculer leur différence, ce que tu fais dans la démonstration. Et comme leur différence est nulle, tu utilises un résultat bien connu disant que si la différence entre deux nombres est nulle, alors ils ont égaux.

En conclusion, j'espère qu'il a pris sa retraite...

Dernière modification par thadrien (09-01-2011 11:16:39)

yoshi · 09-01-2011 11:56:37

Re,

L'était pas tout seul !!!
Et le dernier en date sortait de Normale Sup...
Mais bon, vu leurs âges à l'époque et le mien maintenant, il est probable qu'ils mangent les pisselits par la racine.
Paix à leur âme !
:-)

@+

Barbichu · 10-01-2011 13:31:15

Salut,
c'est surprenant ça quand même, un prof sorti de l'ens et qui raconte des sornettes pareil, surtout pour l'époque.

Mais au passage, elle sort d'où ta citation de yoshi, theadrien ? Ça me rappelle une discussion privée que j'ai eu avec yoshi (suite à une égalité trigo à montrer, il y a un moment maintenant), mais je ne trouve aucune référence à ta quote sur le forum.
a+

Dernière modification par Barbichu (10-01-2011 13:33:14)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 06-01-2011 15:33:24

A propos de la réciproque du "théorème" de Pythagore...

#2 06-01-2011 18:00:40

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#3 06-01-2011 18:47:11

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#4 06-01-2011 18:57:18

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#5 06-01-2011 19:54:59

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#6 06-01-2011 21:19:49

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#7 06-01-2011 21:52:01

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#8 06-01-2011 23:59:35

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#9 08-01-2011 14:18:03

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#10 08-01-2011 14:51:21

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