Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Golgup

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Trouver une fonction [Résolu]

Bonjour,

Il s'agit là d'une simple curiosité engendrée par un exercice incomplet donné par mon prof:

Tout part de l’équation  [tex]{a}^{b}={b}^{a}[/tex] 

On montre facilement qu'elle est équivalente à  [tex]\frac{\ln \left(a\right)}{a}=\frac{\ln \left(b\right)}{b}[/tex]

avec  [tex]a\in ]1;e[[/tex]   et    [tex]b\in ]e;+\infty[[/tex]

Maintenant, imaginez la fonction  [tex]f[/tex] qui à tout reel  [tex]a[/tex] associe  [tex]b[/tex] .  Pouvez vous m'aider à trouve cette fonction? Autrement dit, comment exprimer  [tex]b[/tex] en fonction de  [tex]a[/tex] ?

Fred

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Re : Trouver une fonction [Résolu]

Bonsoir,

  Sauf erreur de ma part, ce n'est pas possible.
C'est-à-dire qu'avec les fonctions usuelles (puissance, logarithme, exponentielle), on ne peut pas trouver une fonction qui exprime b en fonction de a.

Fred.

tibo

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Re : Trouver une fonction [Résolu]

Yop,

Je ne comprend pas tes intervales.
Il y a équivalence pour tout a>0 , b>0 ?
non? j'ai loupé quelque chose?

Sinon pour a et b différent de 1, on peut montrer qu'il existe une fonction qui relie a et b (théorème des fonctions implicites), mais ce théorème ne donne pas explicitement la fonction.
Et à première vue, je pense également que ce n'est pas possible.
D'ailleurs, ton exercice ne va pas plus loin que l'équivalence que tu as écris.

thadrien

Membre

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Re : Trouver une fonction [Résolu]

Salut,

Il y avait un exercice similaire ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3987 Peut-être la suite est aussi similaire ?

Je crois que le but de l'exercice était : "résoudre cette équation en nombres entiers", non ? Dans ce cas, la conclusion est quasi-immédiate une fois que l'on a trouvé la bonne fonction et les bons intervalles : l'un de tes intervalles ne contient qu'un seul entier.

Golgup

Membre actif

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Re : Trouver une fonction [Résolu]

Oui avec ces intervalles, on montre que l'equation n'admet qu'une solution en nombre entier: a=2 et b=4

++