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#1 14-10-2010 22:05:52
- Dico
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espace vectoriel complexe
v1=(1+i;1+2i;i) v2=(2;4-i;-1) v2=(0;-1+2i;2+i)
mq v1 ,v2 et v3 sont liés si [tex]\mathbb{C}^3[/tex] est considéré comme un espace vectoriel sur [tex]\mathbb{C}[/tex] et sont libres si [tex]\mathbb{C}^3[/tex] est considéré comme un espace vectoriel sur [tex]\mathbb{R}[/tex]
merci bien!!!
Dernière modification par Dico (14-10-2010 22:16:35)
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#2 14-10-2010 22:50:43
- mathieu64
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Re : espace vectoriel complexe
bonsoir,
J'imagine qu'il faut résoudre l'équation a*v1+b*v2+c*v3=0 et montrer que si a,b,c reels alors a=b=c=0 sinon si ils sont complexes il existe une solution.
bonne soirée
Dernière modification par mathieu.gibert (14-10-2010 22:51:14)
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#4 15-10-2010 06:52:03
- freddy
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Re : espace vectoriel complexe
Re,
on doit résoudre le système :
[tex]\begin{cases}a(1+i)+2b=0 \\ a(1+2i)+b(4-i)+c(-1+2i)=0 \\ ai-b+c(2+i)=0\end{cases}[/tex]
Si les coefficients sont réels, on conclut vite ; s'ils sont complexes, il faut montrer que le système est surdéterminé.
Reviens nous voir dès que tu as la solution (je n'ai pas encore fait le calcul).
Bb
Dernière modification par freddy (15-10-2010 06:56:34)
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#5 15-10-2010 18:36:04
- freddy
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Re : espace vectoriel complexe
Re,
sauf erreur, j'arrive à ceci :
[tex]b=\frac{1+i}{2}a,\; c=-\frac{i}{2}a,\; a\in \mathbb{C}[/tex].
Donc les 3 vecteurs ne forment pas une base de l'ev [tex]\mathbb{C}^3[/tex] défini sur le corps [tex]\mathbb{C}[/tex]
Bb
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#6 21-10-2010 15:58:08
- Dico
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Re : espace vectoriel complexe
Aie! je mexcuse vraiment Freddy. Il y a qu'en même que je suis engagé sur plusieurs fronts.
tout de même j'ai regardé et le raisonnement est sans aucun doute bon mais après calcul je trouve plutôt
b=-[tex]\frac{1+i}{2}[/tex]a , c=[tex]\frac{1+7i}{10}[/tex]a , a[tex]\in\mathbb c[/tex]
ce qui justifie bien que {v1,v2,v3} est lié
Mais si le corps est [tex]\mathbb{C}[/tex] on peut dire que le système précédement par sa forme n'admet que {0,0,0} comme solution ?
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#7 22-10-2010 10:14:01
- freddy
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Re : espace vectoriel complexe
Re,
sauf erreur, j'arrive à ceci :
[tex]b=\frac{1+i}{2}a,\; c=-\frac{i}{2}a,\; a\in \mathbb{C}[/tex].
Donc les 3 vecteurs ne forment pas une base de l'ev [tex]\mathbb{C}^3[/tex] défini sur le corps [tex]\mathbb{C}[/tex]Bb
En fait, il y avait bien une erreur de calcul, mais la conclusion demeure.
On arrive en fait à :
[tex]b=-\frac{1+i}{2}a,\; c=b,\; a\in \mathbb{C}[/tex].
Bb
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