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D'giu

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Quiz Vrai/Faux suites de fonctions

Bonjour,

j'ai quelques difficultés à répondre à des vrai/faux sur les suites de fonctions:

1. Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.
Je pense que c'est faux mais je n'arrive pas à trouver un contre-exemple.

2.Une limite uniforme de fonctions C1 est C1.

3.Une limite uniforme de fonctions intégrables sur R+ est intégrable sur R+.

4. Si (fn') converge uniformément vers f' alors (fn) converge vers f.
Faux

5. Si (fn)converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge simplement vers f sur I.

6. Si (fn) converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge uniformément vers f sur I.

7. Une limite uniforme de fonctions non continues en 0 n'est pas continue en 0.

8. Si (fn) est une suite d'applications continues de [0,1] dans R qui converge simplement sur [0,1] vers la fonction nulle alors la suite (||fn||) norme infini est bornée.

Si quelqu'un peut m'aider pour certain d'entre eux, merci.

Fred

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Re : Quiz Vrai/Faux suites de fonctions

Bonjour,

j'ai quelques difficultés à répondre à des vrai/faux sur les suites de fonctions:

1. Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.
Je pense que c'est faux mais je n'arrive pas à trouver un contre-exemple.

C'est vrai. Utilise juste la définition de la convergence uniforme.

2.Une limite uniforme de fonctions C1 est C1.

C'est faux... mais ce n'est pas si facile de construire un contre-exemple.
Prends par exemple [tex]f_n(x)=x-sin(nx)/n[/tex] si [tex]x\in[0,1][/tex],
que tu définis sur [-1,0] par parité. Alors chaque fonction est de classe C1
(car le recollement en 0 est C1, la dérivée est nulle). Et la suite converge uniformément
sur [-1,1] vers la fonction |x|, qui n'est pas C1.

3.Une limite uniforme de fonctions intégrables sur R+ est intégrable sur R+.

Faux. Par exemple, [tex]f_n(x)=0[/tex] si [tex]x\in[0,1][/tex], [tex]f_n(x)=1/x[/tex] si [tex]x\in[0,n][/tex],
[tex]f_n(x)=0[/tex] si [tex]x\geq n[/tex].

4. Si (fn') converge uniformément vers f' alors (fn) converge vers f.
Faux

5. Si (fn)converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge simplement vers f sur I.

Vrai (et trivial).

6. Si (fn) converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge uniformément vers f sur I.

Faux. Par exemple, [tex]f_n(x)=1+x+\dots+x^n[/tex] sur ]0,1[.

7. Une limite uniforme de fonctions non continues en 0 n'est pas continue en 0.

Faux. Par exemple, [tex]f_n(x)=1/n[/tex] si [tex]x\in[0,1][/tex] et [tex]f_n(x)=-1/n[/tex] si [tex]x\in[-1,0][/tex].

8. Si (fn) est une suite d'applications continues de [0,1] dans R qui converge simplement sur [0,1] vers la fonction nulle alors la suite (||fn||) norme infini est bornée.

Faux. Par exemple, [tex] f_n(x)=n^2x [/tex] si [tex]x\in[0,1/n] [/tex] que tu "symétrises" entre 1/n et 2/n, puis égale à 0 entre 2/n et 1. (C'est plus clair graphiquement : tu prends une fonction qui vaut 0 en 0, vaut n en 1/n, vaut 0 sur [2/n,1], et est affine entre 0 et 1/n, puis entre 1/n et 2/n).

Si quelqu'un peut m'aider pour certain d'entre eux, merci.

C'est fait!

D'giu

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Re : Quiz Vrai/Faux suites de fonctions

Woawww, un grand merci pour ton aide!!!!

Juste pour la 4, la réponse est fausse. On peut prendre fn(x)= 1 + f(x).

Dernière modification par D'giu (13-10-2010 18:46:53)

PETURE

Invité

Re : Quiz Vrai/Faux suites de fonctions

QUELQU'UN POURRAIT-IL M'AIDER POUR LA THEORIE DES FONCTIONS ET SUITES.  JE SUIS STUDENT DE 5ème HUMANITE A ST PIERRE DE JETTE. SUPER MERCI POUR VOTRE REPONSE RAPIDE! JEROME