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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- PETURE
- 08-12-2011 16:48:36
QUELQU'UN POURRAIT-IL M'AIDER POUR LA THEORIE DES FONCTIONS ET SUITES. JE SUIS STUDENT DE 5ème HUMANITE A ST PIERRE DE JETTE. SUPER MERCI POUR VOTRE REPONSE RAPIDE! JEROME
- D'giu
- 05-10-2010 20:27:13
Woawww, un grand merci pour ton aide!!!!
Juste pour la 4, la réponse est fausse. On peut prendre fn(x)= 1 + f(x).
- Fred
- 05-10-2010 20:19:53
Bonjour,
j'ai quelques difficultés à répondre à des vrai/faux sur les suites de fonctions:
1. Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.
Je pense que c'est faux mais je n'arrive pas à trouver un contre-exemple.
C'est vrai. Utilise juste la définition de la convergence uniforme.
2.Une limite uniforme de fonctions C1 est C1.
C'est faux... mais ce n'est pas si facile de construire un contre-exemple.
Prends par exemple [tex]f_n(x)=x-sin(nx)/n[/tex] si [tex]x\in[0,1][/tex],
que tu définis sur [-1,0] par parité. Alors chaque fonction est de classe C1
(car le recollement en 0 est C1, la dérivée est nulle). Et la suite converge uniformément
sur [-1,1] vers la fonction |x|, qui n'est pas C1.
3.Une limite uniforme de fonctions intégrables sur R+ est intégrable sur R+.
Faux. Par exemple, [tex]f_n(x)=0[/tex] si [tex]x\in[0,1][/tex], [tex]f_n(x)=1/x[/tex] si [tex]x\in[0,n][/tex],
[tex]f_n(x)=0[/tex] si [tex]x\geq n[/tex].
4. Si (fn') converge uniformément vers f' alors (fn) converge vers f.
Faux5. Si (fn)converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge simplement vers f sur I.
Vrai (et trivial).
6. Si (fn) converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge uniformément vers f sur I.
Faux. Par exemple, [tex]f_n(x)=1+x+\dots+x^n[/tex] sur ]0,1[.
7. Une limite uniforme de fonctions non continues en 0 n'est pas continue en 0.
Faux. Par exemple, [tex]f_n(x)=1/n[/tex] si [tex]x\in[0,1][/tex] et [tex]f_n(x)=-1/n[/tex] si [tex]x\in[-1,0][/tex].
8. Si (fn) est une suite d'applications continues de [0,1] dans R qui converge simplement sur [0,1] vers la fonction nulle alors la suite (||fn||) norme infini est bornée.
Faux. Par exemple, [tex] f_n(x)=n^2x [/tex] si [tex]x\in[0,1/n] [/tex] que tu "symétrises" entre 1/n et 2/n, puis égale à 0 entre 2/n et 1. (C'est plus clair graphiquement : tu prends une fonction qui vaut 0 en 0, vaut n en 1/n, vaut 0 sur [2/n,1], et est affine entre 0 et 1/n, puis entre 1/n et 2/n).
Si quelqu'un peut m'aider pour certain d'entre eux, merci.
C'est fait!
- D'giu
- 05-10-2010 18:15:40
Bonjour,
j'ai quelques difficultés à répondre à des vrai/faux sur les suites de fonctions:
1. Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.
Je pense que c'est faux mais je n'arrive pas à trouver un contre-exemple.
2.Une limite uniforme de fonctions C1 est C1.
3.Une limite uniforme de fonctions intégrables sur R+ est intégrable sur R+.
4. Si (fn') converge uniformément vers f' alors (fn) converge vers f.
Faux
5. Si (fn)converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge simplement vers f sur I.
6. Si (fn) converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (fn) converge uniformément vers f sur I.
7. Une limite uniforme de fonctions non continues en 0 n'est pas continue en 0.
8. Si (fn) est une suite d'applications continues de [0,1] dans R qui converge simplement sur [0,1] vers la fonction nulle alors la suite (||fn||) norme infini est bornée.
Si quelqu'un peut m'aider pour certain d'entre eux, merci.