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#1 13-09-2010 18:12:29
- D'giu
- Membre
- Inscription : 06-12-2009
- Messages : 21
Etude de sin(u)/u
Bonjour,
j'ai quelques problèmes pour résoudre un exercice:
il faut montrer que [tex]\rho :\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\rightarrow \mathcal{R}[/tex] tel que
[tex]\rho \left(u\right)=\frac{\sin \left(u\right)}{u}\,si\,u\,\noteq \,0\,et\,\rho \left(0\right)=1[/tex] est C1 sur [tex]\left[0,\frac{\pi }{2}\right][/tex]
En déduire que [tex]h\,définie\,sur\,]0,\pi ]\,par\,h\left(t\right)=t.co\tan \left(\frac{t}{2}\right)\,est\,prolongeable\,en\,une\,application\,{C}^{1}sur\,\left[0,\pi \right][/tex]
Je pensais utiliser le théorème des accroissement fini mais je n'y arrive pas.
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.
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#2 13-09-2010 20:00:27
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Etude de sin(u)/u
Bonsoir,
Ou bloques-tu exactement ?
Si tu bloques dès le début, essaies d'abord de montrer que [tex]\rho[/tex] est continue.
Je ne pense pas qu'il faille utiliser le théorème des accroissements finis... mais presque seulement les définitions d'une application continue !
Roro.
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#3 13-09-2010 20:17:11
- D'giu
- Membre
- Inscription : 06-12-2009
- Messages : 21
Re : Etude de sin(u)/u
Bonsoir,
Ou bloques-tu exactement ?
Si tu bloques dès le début, essaies d'abord de montrer que [tex]\rho[/tex] est continue.
Je ne pense pas qu'il faille utiliser le théorème des accroissements finis... mais presque seulement les définitions d'une application continue !Roro.
Il faudrait que j'arrive à montrer que [tex]\rho[/tex] est continue en prouvant que [tex]\rho[/tex](x) tend vers 1 quand x tend vers 0. Mais ensuite, comment prouver quelle est dérivable? En revenant la définition?
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#4 13-09-2010 20:31:42
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Etude de sin(u)/u
Salut,
Pour montrer qu'elle est dérivable en 0,
tu peux effectivement revenir à la définition en calculant le taux d'accroissement.
Le fait de calculer des limites semble te poser des problèmes.
Connais-tu les développements limités?
F.
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#5 13-09-2010 20:40:35
- D'giu
- Membre
- Inscription : 06-12-2009
- Messages : 21
Re : Etude de sin(u)/u
Salut,
Pour montrer qu'elle est dérivable en 0,
tu peux effectivement revenir à la définition en calculant le taux d'accroissement.
Le fait de calculer des limites semble te poser des problèmes.
Connais-tu les développements limités?F.
Je fais le DL de sin(u)/u, j'obtiens: [tex]1\,-\,\frac{{x}^{2}}{6}[/tex] donc pour la continuité en 0, c'est bon.
Mais ensuite? Comment utiliser les DL et le taux d'accroissement?
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#7 13-09-2010 21:12:59
- D'giu
- Membre
- Inscription : 06-12-2009
- Messages : 21
Re : Etude de sin(u)/u
Tu dois regarder si le taux d'accroissement admet une limite en 0.
Donc tu calcules ce taux d'accroissement, et en utilisant un DL de sin(x), tu étudies s'il admet une limite...F.
[tex]\frac{\frac{\sin \left(x\right)}{x}\,-\,\frac{\sin \left(a\right)}{a}}{x\,-\,a\,}\,c'est\,le\,taux\,d'accroissement[/tex]
mais je ne vois pas comment on peut obtenir la limite.
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#9 14-09-2010 10:26:39
Re : Etude de sin(u)/u
Il faudrait que j'arrive à montrer que [tex]\rho[/tex] est continue en prouvant que [tex]\rho[/tex](x) tend vers 1 quand x tend vers 0. Mais ensuite, comment prouver quelle est dérivable? En revenant la définition?
En faisant comme Fred te l'as dit un développement limité en 0, tu obtiens non seulement que f est continue en 0 mais également que f est dérivable en 0. En effet, on a les théorèmes suivants :
1) f admet un DL0 en un point a si et seulement si f est continue en ce point.
2) f admet un DL1 en un point a si et seulement si f est dérivable en ce point.
Il ne te reste plus qu'à démontrer que cette dérivée est continue. Pour cela, tu as deux solutions :
1) Soit tu calcules la fonction dérivée et tu montre qu'elle est continue.
2) Soit tu utilises non pas un développement limité mais un développement en série entière. Tu montres que sin(u)/u est égal pour tout u différent de 0 à une série entière. Alors, sin(u)/u est prolongeable par continuité en une fonction Cinfini, comme pour la série entière.
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#10 14-09-2010 17:01:00
Re : Etude de sin(u)/u
Détail de la méthode :
Méthode 1 :
Pour tout u différent de 0, [tex]sin(u) = u - \frac{u^3}{6} + o(u^4)[/tex]
[tex]\frac{sin(u)}{u} = 1 - \frac{u^2}{6} + o(u^3)[/tex]
Donc [tex]\frac{sin(u)}{u}[/tex] admet un [tex]D.L._1[/tex] en 0.
Donc [tex]\frac{sin(u)}{u}[/tex] est continue et dérivable en 0. Attention : on ne peux pas déduire des développements limités l'existence de dérivées d'ordre supérieur à 1, ni leur continuité.
De plus, [tex]\frac{sin(u)}{u}[/tex] vaut 0 en 0 et sa dérivée vaut 0 en 0.
Maintenant, montrons que sa dérivée est continue.
Pour cela, calculons cette dérivée :
Pour tout u différent de 0, [tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \left(\frac{sin(u)}{u} \right) = \frac{u \cdot cos(u) - sin(u)}{u^2}[/tex].
Pour u = 0, [tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \left( \frac{sin(u)}{u} \right) = 0[/tex].
La dérivée est continue pour u différent de 0. Montrons qu'elle est continue en u = 0.
Pour u différent de 0, [tex]\frac{u \cdots cos(u) - sin(u)}{u^2} = \frac{u \cdots (1+o(u))-(u+o(u^2))}{u^2}=\frac{o(u^2)}{u^2} = o(1)[/tex].
Donc [tex]\frac{u \cdot cos(u) - sin(u)}{u^2} \to 0[/tex] quand [tex]u \to 0[/tex]
Donc l[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \left( \frac{sin(u)}{u} \right)[/tex] est continue en 0.
Bilan : [tex]\frac{sin(u)}{u}[/tex] est [tex]C^1[/tex] sur R.
Méthode 2 :
Pour tout u différent de 0, [tex]sin(u) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n \cdots u^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
[tex]\frac{sin(u)}{u} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n \cdot u^{2n}}{(2n+1)!}[/tex]
Le terme de droite est la somme d'une série entière, dont le rayon de convergence est R tout entier, donc [tex]C^\infty[/tex] sur R tout entier.
Le terme de gauche peut donc être prolongé en 0 en une fonction [tex]C^\infty[/tex] sur R tout entier.
Dernière modification par thadrien (14-09-2010 21:50:54)
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#11 15-09-2010 16:40:32
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Etude de sin(u)/u
Salut !
be carefull, thadrien, l'énoncé dit [tex]\frac{\sin u}{u}=1[/tex] pour u=0 ! ... et tu le retrouves avec ton DL ...
On sait bien, nous, qu'on a prolongé la fonction par continuité.
En outre, je parlerai de continuité à droite de 0 pour la dérivée, non ?
Oui, je sais, R. Thom a dit "tout ce qui est rigoureux est insignifiant", mais que cela ne nous empêche pas de faire les choses avec ... rigueur !
Dernière modification par freddy (16-09-2010 10:11:27)
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