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D'giu

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Algèbre Linéaire

Bonjour,

j'ai quelques soucis pour résoudre un exercice en algèbre linéaire. Voilà l'énoncé:

Soit E un K-espace vectoriel de dimension fini, F et G 2 sous-espaces vectoriel de E.
Montrer que [tex]F\,et\,G\,admettent\,un\,supplementaire\,\,commun\,\,\Longleftrightarrow \,di{m}_{k} F\,=\,di{m}_{k\,}G\[/tex]

Pour  [tex]\Rightarrow[/tex] , c'est assez simple: 
[tex]F\oplus {W}_{1}=E\,[/tex]
[tex]G\oplus {W}_{1}=E\,[/tex]

donc  [tex]dim\left(F\oplus {W}_{1}\right)=dim\,F\,+\,dim\,{W}_{1}[/tex] [tex]=\,dim\,E[/tex]
et  [tex]dim\left(G\oplus {W}_{1}\right)=dim\,G\,+\,dim\,{W}_{1}[/tex] [tex]=\,dim\,E[/tex]

d'où  [tex]dim\,F\,=\,dim\,G[/tex]

Mais pour l'autre sens, j'ai quelques difficultés. On m'a conseillé de prendre un exemple avec  [tex]{\mathcal{R}}^{2}[/tex]  et [tex]{\mathcal{R}}^{3}[/tex] . Pour qu'une droite soit supplémentaire à un plan, il faut qu'elle ne soit pas contenue dans ce plan. Donc pour qu'elle soit supplémentaire aux 2 plans ensembles, elle n'est ni contenue dans l'un ni dans l'autre. Mais je ne vois pas pourquoi les 2 droites seraient les mêmes.

Si quelqu'un arrive à m'aider, merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Algèbre Linéaire

Salut,

  Pour ton exemple, il suffit de voir que la réunion des deux plans n'est pas l'espace tout entier.
Tu peux donc prendre une droite qui n'est ni dans le premier plan, ni dans le second.

  Pour prouver le cas général, je n'ai pas envie de réécrire un truc que j'ai déjà écrit ailleurs.
Regarde donc la base de données d'exercices du site. Dans la feuille d'exercices consacrée aux espaces vectoriels de dimension finie, tu trouveras ton bonheur à l'exercice 3.

A+
Fred.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

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Messages : 7 457

Re : Algèbre Linéaire

Salut Fred,

et merci de la réponse. J'avoue avoir commencé à chercher depuis hier soir et trouvais que la réponse n'était pas des plus évidentes en soi.

D'où une remarque comme ça, en passant : avant de poser une question, ferions bien d'aller voir tous les exos que tu as postés, certains sont sûrement de grands classiques à connaitre.

Bis bald