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chaimae

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nombres réels

soient a1,.........an et b1,............bn, des réels strictement positifs , montrer que :
inf(a1/b1...an/bn) inférieure ou égal à (a1+.....an )/(b1+.......bn) inférieure ou égal à sup (a1/b1.......an/bn)
et à vrai dire je sais pas par ou commencer !
aidez moi , s'il vous plait , et merciii d'avance !

Gustave

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Re : nombres réels

On doit bien montrer que [tex]\inf_{i\in \left\{1,\cdots,n\right\}}\frac{a_i}{b_i} \leq \frac{a_1+\cdots +a_n}{b_1+\cdots b_n} \leq \sup_{i\in \left\{1,\cdots,n\right\}}\frac{a_i}{b_i}[/tex]?
Dans ce cas, on peut supposer sans perte de généralité que [tex]\frac{a_1}{b_i}[/tex] réalise l'inf et [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] réalise le sup (qui sont en fait un min et un max).
Je n'ai pas fait les calculs mais ça devrait marcher.

freddy

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Re : nombres réels

On doit bien montrer que [tex]\inf_{i\in \left\{1,\cdots,n\right\}}(\frac{a_i}{b_i}) \leq \frac{a_1+\cdots +a_n}{b_1+\cdots b_n} \leq \sup_{i\in \left\{1,\cdots,n\right\}}(\frac{a_i}{b_i})[/tex]?
Dans ce cas, on peut supposer sans perte de généralité que [tex]\frac{a_1}{b_1}[/tex] réalise l'inf et [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] réalise le sup (qui sont en fait un min et un max).
Je n'ai pas fait les calculs mais ça devrait marcher.

Salut,

Oui, mais justement, comment ferais tu ?

Dernière modification par freddy (08-01-2010 10:36:43)

Fred

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Re : nombres réels

Bonjour,

  Si [tex]\frac{a_n}{b_n}\geq\frac{a_i}{b_i}[/tex], alors on a [tex]a_n b_i\geq b_na_i[/tex]
[tex]\frac{a_1+\dots+a_n}{b_1+\dots+b_n}\leq \frac{a_n}{b_n}\iff b_na_1+\dots+b_na_n\leq a_nb_1+\dots+a_nb_n[/tex]
[tex]\iff b_n a_1+\dots+b_na_{n-1}\leq a_n b_1+\dots+a_nb_{n-1}[/tex]

Ceci est vrai d'après l'inégalité donnée tout en haut.

Fred.