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mathieu64

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question matrice

Bonjour,
Je me demandais si on pouvait déduire la forme A^n d'une matrice carrée sachant que  (A+id)^3 =0
Merci d'avance.

tevuac

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Re : question matrice

Bonjour
les matrices A - Iet I commutent donc on peut utilser le binome de Newton en commençant par
An   [tex]{A}^{n\,}=\,{\left(\,\,A\,-I\,\,\,\,+\,\,\,I\,\right)}^{n}[/tex] 
La plupart des termes seront nuls

mathieu64

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Re : question matrice

Merci de ton aide ça m'a débloqué.
salut

Fred

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Re : question matrice

Re-

  Une autre possibilité, c'est de faire la division euclidienne de X^n par (X+1)^3.
Il existe [tex]a_n,b_n,c_n[/tex] tels que
[tex]X^n=(X+1)^3Q(X)+a_nX^2+b_nX+c_n[/tex]
On évalue ensuite en A, et on trouve
[tex]A^n =a_n A^2+b_n A+c_n I[/tex]

On peut trouver [tex]a_n,b_n,c_n[/tex] en évaluant
[tex]X^n=(X+1)^3Q(X)+a_nX^2+b_nX+c_n[/tex]
en les racines de (X+1)^3.

Pour cet exercice particulier, la méthode de Tevuac est plus appropriée, car elle demande moins de calculs.
Celle-ci a l'avantage d'être plus générale (par exemple, si la matrice vérifie A^3+A^2+I=0...)

Fred.

tevuac

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Re : question matrice

Bonjour Fred,
C'est encore moi! Ne t'inquiète pas cela ne va pas durer : j'ai une jambe cassée alors j'ai pas mal de temps...
Ta méthode m'intéresse mais hélas je ne sais trouver a(n) b(n) c(n)
avec -1 j'obtiens (-1)^n  = a(n)-b(n)+c(n)  ce qui est en contradiction avec les résultats que j'ai obtenus en utilisant ma méthode
de plus,je ne dispose pas d'autres racines
0ù est le problème?
Merci d'avance

Fred

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Re : question matrice

Bonjour,

  Tu peux trouver deux autres relations en utilisant les racines complexes de X^3+1,
à savoir -j et -j^2.

Fred.

tevuac

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Re : question matrice

Bonjour,
Je viens de reprendre mes calculs,j'avais fait une erreur et je n'ai plus de contradiction entre les deux méthodes. Par contre, -j et -j² ne sont pas racines de ( X + 1)^3 et je ne vois pas comment utiliser ces valeurs.
Abientôt 
Mireille

Fred

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Re : question matrice

Oui, tu as raison, je me suis trompé, -1 est racine triple.
Alors il faut dériver l'équation. Tu trouves

[tex]n X^{n-1}=3(X+1)^2 Q(X)+(X+1)^3Q'(X)+2a_n X+b_n[/tex]
Si tu l'évalues en -1, tu trouves
[tex]n(-1)^{n-1}=-2a_n+b_n[/tex]
Tu dérives encore une fois, et tu évalues encore en -1. Tu trouves
[tex]n(n-1)(-1)^{n-2}=2a_n[/tex]
et en remontant les calculs, on retrouve aussi b_n et c_n.

Fred.

tevuac

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Re : question matrice

Bonsoir,
cette fois, tout fonctionne, il me reste à retenir la méthode.
Merci beaucoup, Fred