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#2 02-03-2026 18:50:17
- Glozi
- Invité
Re : Exercice d'olympiade
Bonjour,
Tu peux montrer que pour tous les $x,y,z\geq 0$ alors $x^5+y^5+y^5\geq xyz(x^2+y^2+z^2)$. Vois-tu pourquoi cela implique ton inégalité ? L'avantage de cette inégalité que je propose est qu'elle est homogène. Une manière de la démontrer est d'utiliser l'inégalité arithmético-géométrique.
Bonne journée
#4 02-03-2026 19:04:11
- Glozi
- Invité
Re : Exercice d'olympiade
Si tu développes, tu veux montrer
$x^5+y^5+z^5>x^3yz+xy^3z+xyz^3$.
Tu peux écrire par exemple $x^3yz=(x^5\times x^5\times x^5\times y^5\times z^5)^{1/5}$, il suffit alors d'appliquer l'IAG.
#6 02-03-2026 19:47:02
- Glozi
- Invité
Re : Exercice d'olympiade
Dans ce cas tu ne peux pas utiliser l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) ? Il me semblait pourtant que c'était pourtant un outil de base pour les olympiades. Tu peux sûrement reformuler les choses pour tout écrire avec des puissances entières, m'enfin c'est pas très pratique...
Par exemple : au lieu de prouver l'IAG classique $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \geq \left(\prod_{i=1}^n{x_i}\right)^{1/n}$, tu peux directement prouver
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^n \geq \prod_{i=1}^n x_i$ (avec des notations de lycée cela s'écrit $$\frac{1}{n}\left(x_1^n+\dots+x_n^n\right)\geq x_1\times \dots\times x_n.$$
Preuve de cette inégalité avec des outils de lycée (j'espère !)
1) Prouver que $e^x\geq x+1$ pour tout $x$.
2) On pose $S=\frac{1}{n}(x_1^n+\dots+x_n^n)$ montrer que pour tout $k$ entre $1$ et $n$ alors
$$\exp\left(\frac{x_k^n}{S}-1\right)\geq\frac{x_k^n}{S}.$$
3) En déduire
$$\frac{1}{S^n}\left(x_1^n\times \dots\times x_n^n\right) \leq 1.$$
4) Conclure.
NB : dans ton cas il suffit de faire la preuve pour $n=5$ puis de l'appliquer comme dit mon précédent message.
NB2 : si tu cherches une preuve sans cette inégalité IAG (ou équivalent) alors je ne sais pas comment faire.
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