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germain32

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Cardinal d'une partition

Bonjour,
j'ai eu l'idée saugrenue de démontrer Par Récurrence que si $Card(E)=n$ alors
$Card(P(E))=2^n$
(je sais le démontrer avec $(1+1)^n$)
Je coince
Si quelqu'un peut m'aider...
Merci beaucoup

Glozi

Invité

Re : Cardinal d'une partition

Bonjour,
Déjà vois tu pourquoi il suffit de démontrer le résultat pour $E_n=\{1,2,\dots,n\}$ ?
Ensuite si $A$ est un élément de $\mathcal{P}(E_{n+1})$ il y a deux possibilités :
- ou bien l'ensemble $A$ contient l'élément $n+1$
- ou bien l'ensemble $A$ ne le contient pas.

▼encore un coup de pouce

Il y a combien de $A$ dans chacun des deux cas ?

Bonne journée

germain32

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Re : Cardinal d'une partition

Merci Glozi
je cherchais $2\times 2^n$ alors qu'il faut chercher $2^n +2^n$

bridgslam

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Re : Cardinal d'une partition

Bonjour ,

Tu peux voir aussi que forcément une partie est caractérisée par une partie de $\{1,..., n\}$ réunie avec une partie de $\{n+1\}$.
D'où le résultat attendu par récurrence, cela revenant à dénombrer le cardinal d'un produit cartésien dont le cardinal d'un facteur est connu par hypothèse et l'autre qui vaut simplement 2.
La même idée élément par élément permet d'ailleurs directement  de se passer de la récurrence: une partie de
$\{1,..., n\}$ c'est exactement une partie de $\{1\}$ réunie avec une partie $\{2\}$ etc...

Dernière modification par bridgslam (13-02-2026 01:05:12)

germain32

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Re : Cardinal d'une partition

Merci à tous pour votre aide !