Forum de mathématiques - Bibm@th.net

gebrane

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Point fixe

Bonjour,

Soit $E$ un ensemble et soit $f : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$ une application croissante pour l'inclusion
Montrer que $f$ admet un point fixe

Glozi

Invité

Re : Point fixe

Bonjour,
Un classique qui permet au passage de démontrer le théorème de Cantor-Bernstein.

▼preuve

Posons $\mathcal{A}:=\{F\subset E\ |\ F\subset f(F)\}$.
$\mathcal{A}$ est non vide car $\emptyset\in \mathcal{A}$. Posons $X=\bigcup_{F\in \mathcal{A}}F$ (en fait $X$ est le supremum de $\mathcal{A}$). Alors $X\in \mathcal{A}$. En effet si $X\neq \emptyset$ soit $x\in X$, il existe $F\in \mathcal{A}$ tel que $x\in F$ donc $x\in f(F)\subset f(X)$ car $F\subset X$ et $f$ croissante. Donc $X\subset f(X)$ donc $X\in \mathcal{A}$. Par croissance de $f$, $X\subset f(X)$ implique $f(X)\subset f(f(X))$ et donc $f(X)\in \mathcal{A}$. Par définition de $X$ on a donc $f(X)\subset X$. Finalement, $X=f(X)$ par double inclusion et $X$ est un point fixe de $f$.

Bonne journée

gebrane

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Re : Point fixe

Exact

Michel Coste

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Re : Point fixe

Bonjour,
Le "si $X\neq \emptyset$" est inutile. ;)

Dernière modification par Michel Coste (26-01-2026 14:43:39)

gebrane

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Re : Point fixe

Si on veut économiser l'encre pour démontrer que $X \in A$  (que $X$ soit vide ou non) , on peut dire $\forall F \in A, F \subseteq f(F) \subseteq f(X)$, d'où en passant à l'union : $X \subseteq f(X)$.

Glozi

Invité

Re : Point fixe

Effectivement, mais j'ai toujours peur du vide :)