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Posons $\mathcal{A}:=\{F\subset E\ |\ F\subset f(F)\}$.
$\mathcal{A}$ est non vide car $\emptyset\in \mathcal{A}$. Posons $X=\bigcup_{F\in \mathcal{A}}F$ (en fait $X$ est le supremum de $\mathcal{A}$). Alors $X\in \mathcal{A}$. En effet si $X\neq \emptyset$ soit $x\in X$, il existe $F\in \mathcal{A}$ tel que $x\in F$ donc $x\in f(F)\subset f(X)$ car $F\subset X$ et $f$ croissante. Donc $X\subset f(X)$ donc $X\in \mathcal{A}$. Par croissance de $f$, $X\subset f(X)$ implique $f(X)\subset f(f(X))$ et donc $f(X)\in \mathcal{A}$. Par définition de $X$ on a donc $f(X)\subset X$. Finalement, $X=f(X)$ par double inclusion et $X$ est un point fixe de $f$.