Forum de mathématiques - Bibm@th.net

DSBmath

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À propos de X(57)

Bonjour

Sur une idée de Jelobreuil du 5 septembre 2025  sur les-mathématiques.net https://les-mathematiques.net/vanilla/d … diculaires

(à ce propos le forum fonctionne à nouveau)

J'ai repris son idée de départ (en renommant les points) et j'ai construit le triangle A'B'C' qui est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre X(57)
X(57) étant le conjugué isogonal du Mittenpunkt X(9)

Voilà comment je m'y suis pris accompagné de la figure ci-dessous

$I$ le centre du cercle inscrit d'un triangle $ABC$

$F_a,F_b,F_c$ les points de contact du cercle inscrit avec les droites respectives $(BC),(CA),(AB)$

$A_m,B_m,C_m$ les milieux des côtés respectifs $[BC],[CA],[AB]$

$H_a,H_b,H_c$ les pieds des respectivement $A-hauteur,B-hauteur,C-hauteur$

$D_a,D_b,D_c$ les intersections des droites respectivement :

$(AH_a)$  et $(IA_m)$  , $(BH_b)$ et $(IB_m)$  , $(CH_c)$  et  $(IC_m)$

Le triangle $A'B'C'$ est ainsi défini:

$A'$ l'intersection des droites $(F_aD_a)$ et $(F_bF_c)$

$B'$ l'intersection des droites $(F_bD_b)$ et $(F_cF_a)$

$C'$ l'intersection des droites $(F_cD_c)$ et $(F_aF_b)$

X(57) est le perspecteur des deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$

Les droites $(AA')$ , $(BB')$ , $(CC')$ se rencontrent donc sur X(57)

Dernière modification par DSBmath (30-10-2025 08:39:20)

jelobreuil

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Re : À propos de X(57)

Bonjour DSBmath,
Merci de ce développement intéressant !
Cordialement, JLB

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

C'est plutôt moi qui vous remercie Jelobreuil car c'est une bonne idée

Bon les coordonnées barycentriques de $A'$ et par permutation circulaire pour $B'$ et $C'$

là je n 'ai pas pu simplifier (juste un peu en enlevant un coefficient multiplicateur dans ce message modifié)

en posant juste pour ici $\  t_A = bc+bc.cos\  \alpha \  $ , $\  t_B= ca+ca.cos\   \beta  \  $ , $\  t_C =ab+ab.cos\  \gamma $

et les coefficients de Conway $\  S_A \  ,  \  S_B \  ,  \  S_C  $

$A'=\left(2a.t_B.t_C\left(a^2-2S_B\right)\right. \  :$
$t_C\left(at_A\left(a^2-2S_B\right)+\left(b-c\right)\left(t_B\left(a^2-2S_B\right)-t_CS_B\right)\right)\  :$
$\left.t_B\left(at_A\left(a^2-2S_B\right)+\left(b-c\right)\left(t_CS_B-t_B\left(a^2-2S_B\right)\right)\right)\right) $

il reste encore un autre point à voir et il faudra que je vois s'il s'agit d'un centre lui aussi et puis enfin j'ai vu qu'il y a deux hyperboles associées à tout ça (ce ne sont pas les hyperboles qui sont dans le sujet là-bas) avec une tangente commune et qui sont peut être intéressantes (je n'en sais rien encore)

Dernière modification par DSBmath (30-10-2025 13:00:42)

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonjour,

% DSBmath - 30 Octobre 2025 - À propos de X(57) (BibM@ths)

clear all, clc

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

I=[a; b; c]; % Centre du cercle inscrit et son triangle de contact
Fa=[0; a+b-c; a-b+c]; Fb=[a+b-c; 0; -a+b+c]; Fc=[a-b+c; -a+b+c; 0];
Am=[0; 1; 1]; Bm=[1; 0; 1]; Cm=[1; 1; 0];  % Milieux des côtés du triangle ABC
Ha=[0; Sc; Sb]; Hb=[Sc; 0; Sa]; Hc=[Sb; Sa; 0]; % Pieds des hauteurs
Da=SimplifieBary(Wedge(Wedge(A,Ha),Wedge(I,Am))); % Da=[a*(b+c); Sc; Sb]
% De même:
Db=[Sc; 2*b*(a+c); Sa]; Dc=[Db; Da; c*(a+b)];
Ap=SimplifieBary(Wedge(Wedge(Fa,Da),Wedge(Fb,Fc)));
% On trouve:
Ap=[(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)];
% De même:
Bp=[a*(a+b-c)*(a-b+c); (a+c)*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)];
Cp=[a*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); (a+b)*(a-b+c)*(b-a+c)];
AAp=SimplifieBary(Wedge(A,Ap)); % AAp=[0, c*(a-b+c), -b*(a+b-c)]
% De même:
BBp=[-c*(b-a+c), 0, a*(a+b-c)]; CCp=[b*(b-a+c), -a*(a-b+c), 0];

Nul=Factor(det([AAp; BBp; CCp]))
% Nul=0 donc les droites (AA'), (BB'), (CC') sont concourantes

X=SimplifieBary(Wedge(AAp,BBp));
% On trouve X=[a*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)]
ETC=ETC_Bary(X,a,b,c);
% On trouve ETC=0.38045529151766019566349378080782    C'est bien X_57
 

Cordialement,
Rescassol

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

On trouve ETC=0.38045529151766019566349378080782    C'est bien X_57
Cordialement,
Rescassol

Merci Rescassol
oui idem

Et pour l'autre point il s'agit de X(65) le point de concourt des droites $\  (F_aD_a)\  ,\  (F_bD_b)\  ,\  (F_cD_c)$

et qui est l'orthocentre du triangle $F_aF_bF_c$

j'ai obtenu ETC=0.529726313505

Dans l'image X(65) est le point T

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Donc là j'ai pensé qu'il est plus pratique de nommer les centres X(57) et X(65) car en fait je n'ai pas terminé

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonjour,

Je rajoute ceci à mon code précédent:

FaDa=SimplifieBary(Wedge(Fa,Da)); % Droite (Fa Da)
% On trouve FaDa=[-(b-c)*(b-a+c), (b+c)*(a-b+c), -(b+c)*(a+b-c)]
% De même:
FbDb=[-(a+c)*(b-a+c), (a-c)*(a-b+c), (a+c)*(a+b-c)]; % Droite (Fb Db)
FcDc=[(a+b)*(b-a+c), -(a+b)*(a-b+c), -(a-b)*(a+b-c)]; % Droite (Fc Dc)

Nul=Factor(det([FaDa; FbDb; FcDc]))
% Nul=0 donc les droites (Fa Da), (Fb Db), (Fc Dc) sont concourantes

Y=SimplifieBary(SimplifieBary(Wedge(FaDa,FbDb)));
% On trouve Y=[a*(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c), b*(a+c)*(a+b-c)*(b-a+c), c*(a+b)*(a-b+c)*(b-a+c)]
ETC=ETC_Bary(Y,a,b,c);
% On trouve ETC=0.52972631350505312550460407983051    C'est bien X_65

YY=SimplifieBary(OrthocentreBary(Fa,Fb,Fc,a,b,c))
Nul=FactorT(Y-YY) % Nul=[0; 0; 0] donc YY est aussi X_65
 

Cordialement,
Rescassol

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Merci Rescassol

Donc là pour la suite du propos je vais nommer S le centre X(57) et T le centre X(65) comme il est dit dans l'image précédente

J'en profite au passage pour donner les coordonnées barycentriques de $\  D_a\  ,\  D_b\  ,\  D_c$

$D_a=\left(a^2-2ca.cos\  \beta \  :\  \left(b-c\right)\left(a-c.cos\  \beta \  \right)\  :\  c.cos\  \beta \  .\left(b-c\right)\right)$

et permutation circulaire pour $\  D_b\  ,\  D_c$

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonjour,

Les coordonnées barycentriques de $Da,Db,Dc$ étaient déjà dans mon code, ainsi que tous les autres points.

Cordialement,
Rescassol

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Bonjour Rescassol

De toute façon je suis obligé de les avoir pour calculer la première coordonnée trilinéaire normalisée (la seule que je calcule)
je ne fais pas de figure sur un triangle 6-9-13 donc j'ai besoin d'écrire ces formules
Les triangles de mes images ne sont pas du type 6-9-13 et donc du coup je fais tout par calcul (je suppose comme vous )

Bonne soirée à vous,  là je dois partir pour fabriquer tabac recyclé avant que les travailleurs d'Auchan vident les cendriers (je connais leurs heures)

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonjour,

Voilà le code de ma fonction ETC_Bary qui donne le nombre de la table 6-9-13 d'un point donné en coordonnées barycentriques:

function Dbc = ETC_Bary(P,a,b,c)
         f(a,b,c)=P; P=f(6,9,13); X=P(1)/sum(P);
         Dbc=vpa(X*sqrt(560)/3);
end
 

vpa sert à forcer le mode flottant au lieu de rationnel.

Cordialement,
Rescassol

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Bonsoir Rescassol (je suis revenu et je suis arrivé à temps là-bas)

ah du coup je ne m'y prends pas du tout comme vous Rescassol

Voici ma méthode (qui fonctionne mais sans logiciel)

Je dispose de la formule des coordonnées barycentriques d'un point M que je suppose être un centre
Je calcule ces coordonnées en prenant a=6,b=9,c=13
Puis je calcule les coordonnées barycentriques normalisées $(u:v:w)$ de ce point donc là avec $u+v+w=1$
Ensuite je pose $d=8\sqrt {35} $
cette valeur de $d$ est le déterminant (positif) d'une matrice de passage d'une base orthonormée e vers ... (que je choisis adéquatement sans même calculer cette matrice car je n'ai besoin que de ce déterminant (elle est virtuelle ma base) ) ... donc vers là encore une base virtuelle dont la première colonne donne les coordonnées (sur cette base virtuelle e) du vecteur virtuel (différent de mon triangle ABC mais je garde les notations $\overrightarrow {AB} $ qui est la différence du deuxième point d'un triangle (virtuel) $B(virtuel)$ de type 6_9_13 avec le premier point $Avirtuel$ de ce triangle virtuel dans lequel $BC=6,CA=9,AB=13$ et la deuxième colonne donne les coordonnées (toujours sur cette base virtuelle e) du vecteur virtuel $\overrightarrow {AC} $ qui est la différence du troisième point $Cvirtuel$ avec le premier point $Avirtuel$ de ce triangle virtuel de type 6_9_13

bref je dispose de $d=8\sqrt {35} $ sans me soucier de la virtualité de ce triangle que je n'ai même pas besoin de positionner quelque part sauf dans ma tête

La première coordonnée trilinéaire normalisée de mon point est tout simplement le rapport $\dfrac {du}{a}=\dfrac {8\sqrt {35} u}{6}$

Cette coordonnée étant la mesure algébrique du bipoint dont le premier terme est le point M et le second terme est le projeté orthogonal de ce point M sur la droite (BC) virtuelle elle aussi

Dernière modification par DSBmath (30-10-2025 19:10:20)

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonsoir,

Oui, ton $\dfrac {8\sqrt {35}}{6}$ et mon $\dfrac {\sqrt {560}}{3}$ sont liés, ce n'est pas une coïncidence.

Cordialement,
Rescassol
PS: Ici, il est d'usage de se tutoyer.

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Bonsoir Rescassol

en fait mon triangle virtuel dans un repère orthonormé $\left(O,\vec {i},\vec {j}\right)$
en considérant la base orthonormée $e=\left(\vec {i},\vec {j}\right)$
et si on prend
A(0;0)
B(13;0)
$C\left(\dfrac {107}{13};\dfrac {8\sqrt {35}}{13}\right)$
est un triangle 6_9_13
La base associée à ce triangle est $f=\left(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}\right)$

le déterminant de la base e vers la base f est donc de valeur $d=8\sqrt {35}$

Rescassol d'accord je vais tutoyer

Dernière modification par DSBmath (30-10-2025 19:31:35)

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Bonjour

Donc j'en arrivais qu'étant donné que T (alias donc X(65)) est l'orthocentre du triangle $F_aF_bF_c$ il arrive donc ce qui était demandé par Jelobreuil
$(F_aD_a)\perp (F_bF_c)$ , identiquement $(F_bD_b)\perp (F_cF_a)$ ,  identiquement $(F_cD_c)\perp (F_aF_b)$
son point $K$ est le point $D_a$ de ce propos
son point $D$ est le point $F_a$ de ce propos
son point $E$ est le point $F_b$ de ce propos
son point $F$ est le point $F_c$ de ce propos
et ce qui est demandé est  $(DK)\perp (EF)$

Bref j'en arrive donc à cette droite (ST) donc alias (X(57)X(65))
( je n'avais pas encore calculé ce point T alias X(65) et je ne savais rien de lui)
Le temps passe et j'y reviendrai plus tard

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonjour,

La droite $(ST)$ est: $ST=[bc(b-c)(b-a+c),\ ac(c-a)(a-b+c),\ ab(a-b)(a+b-c)]$.

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

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Re : À propos de X(57)

Bonjour, DSBmath, Rescassol,
Je suis votre échange avec grand intérêt, même si je n'y participe guère...
Amicalement, Jean-Louis B.

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Merci Jelobreuil et Rescassol

Bah en fait une partie de ce qui m'intéresse est là > 

D'une part $\  I,S,T\  $ sont alignés

D'autre part toutes les transformées isogonales de la droite  $\  (ST)\  $ par rapport aux triangles images du triangle $\  ABC\  $ par des homothéties de centre $\  S\  $ sont tangentes à cette droite $\  (ST)\  $

Ainsi par exemple $\  I\  $ qui est donc un point de la droite $\  (ST)\  $ est le point de tangence de la transformée isogonale de cette droite
$\  (ST)\  $ par rapport au triangle $\  ABC\  $

Autre exemple   $\  T\  $ qui est donc un point de la droite $\  (ST)\  $ est le point de tangence de la transformée isogonale de cette droite
$\  (ST)\  $ par rapport au triangle $\  A'B'C'\  $
 

et l'autre partie je dois voir car en fait je ne suis pas sûr que ce soit exact

Là de dois quitter (il est déjà 11h30)

Bonne journée Rescassol et Jelobreuil

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Bonjour Jelobreuil et Rescassol

Entre parenthèses

Sur les-mathématiques . net il y a certainement un document qui en parle  car j'ai fait une recherche google  et je suis tombé sur un lien les-mathématiques.net mais voilà en cliquant il le télécharge tout de suite et je ne peux pas l'ouvrir
Il s'agit d'un dossier système
Voilà l'adresse du lien :

les-mathematiques.net/vanilla/uploads/dump_data/2007/0107/05/2768

Je ne place pas le lien car tout le monde n'a peut être pas envie qu'en cliquant il telecharge direct et en plus
Chose bizarre il fait 500 mégaoctet???? 

Comme je ne peux pas l'ouvrir je vais le supprimer

Mais bon tant pis ... je fais avec les moyens du bord et puis après on verra bien

Fin de la parenthèse

Dernière modification par DSBmath (31-10-2025 15:33:56)

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonjour,

La droite $(ST)$ passe également par le centre $O$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Elle est référencée dans l'ETC comme étant la deuxième "central line" sous le nom "OI Line".
C'est un diamètre du cercle circonscrit, donc son isogonale par rapport au triangle $ABC$ est une hyperbole équilatère circonscrite, dont une équation barycentrique est $a(b-c)(b-a+c)yz+b(c-a)(a-b+c)zx+c(a-b)(a+b-c)xy=0$
C'est l'hyperbole de Feuerbach du triangle $ABC$, centrée au point de Feuerbach
$X_{11}=[(b-c)^2(b-a+c);\ (a-c)^2(a-b+c);\ (a-b)^2(a+b-c)]$
D'autre part:

Iso1(x,y,z)=a*(b-c)*(b-a+c)*y*z + b*(c-a)*(a-b+c)*z*x + c*(a-b)*(a+b-c)*x*y;
Z=Factor(resultant(Iso1,ST*[x; y; z],z))
% On trouve Z=c*(a-c)*(b-c)*(a*y-b*x)^2*(a-b+c)*(b-a+c)
% I est solution double, d'où tangence
 

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (31-10-2025 19:20:05)

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Merci Rescassol
Oui l'hyperbole en bleu dans la figure
C'est donc l'hyperbole de Feuerbach alors
Je vais voir tout cela en détail
Grand merci à vous Rescassol et Jelobreuil (je ne vouvoie pas, je tutoie mais comme vous êtes deux j'échappe à la règle donnée tantôt)

Rescassol

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Re : À propos de X(57)

Bonsoir,
La suite:

% Courbe isogonale de (ST) par rapport à A'B'C':

M=SimplifieBary(S+t*T);
A1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Bp,Cp),a,b,c));
B1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Cp,Ap),a,b,c));
C1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Ap,Bp),a,b,c));
MedA=SimplifieBary(MediatriceBary(B1,C1,a,b,c));
MedB=SimplifieBary(MediatriceBary(C1,A1,a,b,c));
Mp=SimplifieBary(Wedge(MedA,MedB));
EE=[(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)];
Mp=collect(Mp./EE,t);

E=eliminate([Mp(1)==k*x,Mp(2)==k*y,Mp(3)==k*z],[k,t]);
Eq(x,y,z)=Factor(E(1));
Iso2(x,y,z)=Factor(Eq(x/EE(1),y/EE(2),z/EE(3))/((a-b)*(a-c)*(b-c)));
Iso2(x,y,z)=numden(collect(Iso2(x,y,z),[x y z]));
% On trouve Co =
Tx2=a*(b-c)*(b^2+c^2-a^2)*(b-a+c)^2;
Ty2=b*(c-a)*(c^2+a^2-b^2)*(a-b+c)^2;
Tz2=c*(a-b)*(a^2+b^2-c^2)*(a+b-c)^2;
Txy=-(a-b)*(a-b+c)*(b-a+c)*(c^3 - 2*(a+b)*c^2 + (a+b)^2*c - 2*a*b*(a+b));
Tyz=-(b-c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(a^3 - 2*(b+c)*a^2 + (b+c)^2*a - 2*b*c*(b+c));
Tzx=-(c-a)*(a+b-c)*(b-a+c)*(b^3 - 2*(c+a)*b^2 + (c+a)^2*b - 2*c*a*(c+a));
VerifIso2=Factor(Tx2*x^2+Ty2*y^2+Tz2*z^2+Txy*x*y+Tyz*y*z+Tzx*z*x + Iso2(x,y,z))
% On a bien VerifIso2=0

Z=Factor(resultant(numden(Iso2),ST*[x; y; z],z))
% On trouve Z=(a-b)*(a-c)*(b-c)*(a+b-c)^3*(a-b+c)*(b-a+c)*(b*(a+c)*(b-a+c)*x - a*(b+c)*(a-b+c)*y)^2
% T est solution double, d'où tangence

Co=FactorT(coeffs(Iso2(x,y,z),[x y z]))'
Cen2=SimplifieBary(CentreConiqueBary(Co(1),Co(4),Co(6),Co(2)/2,Co(5)/2,Co(3)/2))
% On trouve Cen2 =
% (a+b-c)*(a-b+c)*(2*(b+c)*a^3 - 2*a^4 + (b^2-4*b*c+c^2)*a^2 - (b^2-c^2)^2)
% (a+b-c)*(b-a+c)*(2*(c+a)*b^3 - 2*b^4 + (c^2-4*c*a+a^2)*b^2 - (c^2-a^2)^2)
% (a-b+c)*(b-a+c)*(2*(a+b)*c^3 - 2*c^4 + (a^2-4*a*b+b^2)*c^2 - (a^2-b^2)^2)
ETC=ETC_Bary(Cen2,a,b,c)
% ETC=0.63831054276866230179398191120303      C'est X_24465

NulCen=Factor(det([Cen1 Cen2 S])) % NulCen=0 donc Cen1, Cen2, S sont alignés
 

Les deux hyperboles se coupent en l'orthocentre:
$H=X_4=[S_bS_c;\ S_cS_a;\ S_aS_b]$
et le point de Gergonne:
$Ge=X_7=[(a-b+c)(a+b-c);\  (-a+b+c)(a+b-c);\  (-a+b+c)(a-b+c)]$ du triangle $ABC$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (31-10-2025 23:08:14)

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Elle est référencée dans l'ETC comme étant la deuxième "central line" sous le nom "OI Line".

Merci Rescassol
Je viens juste de trouver le lien adéquat (grâce à tes indications)
liste des droites centrales

Dernière modification par DSBmath (01-11-2025 01:01:29)

jelobreuil

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Re : À propos de X(57)

Bonjour, DSBmath, Rescassol, et tous,
Un détail, je dirais "droites de centres" plutôt que "droites centrales", par analogie avec la "droite des centres" d'un faisceau de cercles, mais je reconnais que ce n'est pas top... Peut-être "droites à centres" ?
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (01-11-2025 09:18:31)

DSBmath

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Re : À propos de X(57)

Bonjour Jelobreuil
Je ne sais pas Jelobreuil et je ne sais pas non plus quand j'aurais terminé mes calculs et de plus il y a les axes focaux de ces hyperboles qui m'intéresse et donc il va falloir que j'écrive leurs équations barycentriques.
Je suis lent mais je ne suis pas pressé, je dis juste que je dois le faire et que je ne pourrais donc pas venir avant quelque temps ici. 
En espérant ne pas dire de bêtises leurs axes focaux seraient parallèles. 
Bon eh bien j'ai du travail à faire sur ce sujet.
Bien amicalement Jelobreuil (et encore merci)