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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- DSBmath
- 01-11-2025 19:21:55
Oui effectivement Rescassol j'ai vu cela et je te remercie
Bien amicalement DSBmath
- Rescassol
- 01-11-2025 18:54:38
Bonsoir,
J'ai déjà donné des équations barycentriques des deux hyperboles ci-dessus.
Cordialement,
Rescassol
- DSBmath
- 01-11-2025 12:06:05
PS : pour les axes focaux en fait je ne suis pas obligé d'avoir leurs écritures
Il y a une involution qui permet d'avoir un axe de symétrie pour une conique bifocale
si les axes focaux sont parallèles la démonstration se réduit tout simplement à montrer que les axes de symétrie de ces hyperboles sont parallèles ou perpendiculaires 
- DSBmath
- 01-11-2025 10:54:55
Bonjour Jelobreuil
Je ne sais pas Jelobreuil et je ne sais pas non plus quand j'aurais terminé mes calculs et de plus il y a les axes focaux de ces hyperboles qui m'intéresse et donc il va falloir que j'écrive leurs équations barycentriques.
Je suis lent mais je ne suis pas pressé, je dis juste que je dois le faire et que je ne pourrais donc pas venir avant quelque temps ici.
En espérant ne pas dire de bêtises leurs axes focaux seraient parallèles.
Bon eh bien j'ai du travail à faire sur ce sujet.
Bien amicalement Jelobreuil (et encore merci)
- jelobreuil
- 01-11-2025 09:15:20
Bonjour, DSBmath, Rescassol, et tous,
Un détail, je dirais "droites de centres" plutôt que "droites centrales", par analogie avec la "droite des centres" d'un faisceau de cercles, mais je reconnais que ce n'est pas top... Peut-être "droites à centres" ?
Bien amicalement, JLB
- DSBmath
- 01-11-2025 00:51:47
Elle est référencée dans l'ETC comme étant la deuxième "central line" sous le nom "OI Line".
Merci Rescassol
Je viens juste de trouver le lien adéquat (grâce à tes indications)
liste des droites centrales
- Rescassol
- 31-10-2025 21:55:22
Bonsoir,
La suite:
% Courbe isogonale de (ST) par rapport à A'B'C':
M=SimplifieBary(S+t*T);
A1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Bp,Cp),a,b,c));
B1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Cp,Ap),a,b,c));
C1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Ap,Bp),a,b,c));
MedA=SimplifieBary(MediatriceBary(B1,C1,a,b,c));
MedB=SimplifieBary(MediatriceBary(C1,A1,a,b,c));
Mp=SimplifieBary(Wedge(MedA,MedB));
EE=[(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)];
Mp=collect(Mp./EE,t);
E=eliminate([Mp(1)==k*x,Mp(2)==k*y,Mp(3)==k*z],[k,t]);
Eq(x,y,z)=Factor(E(1));
Iso2(x,y,z)=Factor(Eq(x/EE(1),y/EE(2),z/EE(3))/((a-b)*(a-c)*(b-c)));
Iso2(x,y,z)=numden(collect(Iso2(x,y,z),[x y z]));
% On trouve Co =
Tx2=a*(b-c)*(b^2+c^2-a^2)*(b-a+c)^2;
Ty2=b*(c-a)*(c^2+a^2-b^2)*(a-b+c)^2;
Tz2=c*(a-b)*(a^2+b^2-c^2)*(a+b-c)^2;
Txy=-(a-b)*(a-b+c)*(b-a+c)*(c^3 - 2*(a+b)*c^2 + (a+b)^2*c - 2*a*b*(a+b));
Tyz=-(b-c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(a^3 - 2*(b+c)*a^2 + (b+c)^2*a - 2*b*c*(b+c));
Tzx=-(c-a)*(a+b-c)*(b-a+c)*(b^3 - 2*(c+a)*b^2 + (c+a)^2*b - 2*c*a*(c+a));
VerifIso2=Factor(Tx2*x^2+Ty2*y^2+Tz2*z^2+Txy*x*y+Tyz*y*z+Tzx*z*x + Iso2(x,y,z))
% On a bien VerifIso2=0
Z=Factor(resultant(numden(Iso2),ST*[x; y; z],z))
% On trouve Z=(a-b)*(a-c)*(b-c)*(a+b-c)^3*(a-b+c)*(b-a+c)*(b*(a+c)*(b-a+c)*x - a*(b+c)*(a-b+c)*y)^2
% T est solution double, d'où tangence
Co=FactorT(coeffs(Iso2(x,y,z),[x y z]))'
Cen2=SimplifieBary(CentreConiqueBary(Co(1),Co(4),Co(6),Co(2)/2,Co(5)/2,Co(3)/2))
% On trouve Cen2 =
% (a+b-c)*(a-b+c)*(2*(b+c)*a^3 - 2*a^4 + (b^2-4*b*c+c^2)*a^2 - (b^2-c^2)^2)
% (a+b-c)*(b-a+c)*(2*(c+a)*b^3 - 2*b^4 + (c^2-4*c*a+a^2)*b^2 - (c^2-a^2)^2)
% (a-b+c)*(b-a+c)*(2*(a+b)*c^3 - 2*c^4 + (a^2-4*a*b+b^2)*c^2 - (a^2-b^2)^2)
ETC=ETC_Bary(Cen2,a,b,c)
% ETC=0.63831054276866230179398191120303 C'est X_24465
NulCen=Factor(det([Cen1 Cen2 S])) % NulCen=0 donc Cen1, Cen2, S sont alignés
Les deux hyperboles se coupent en l'orthocentre:
$H=X_4=[S_bS_c;\ S_cS_a;\ S_aS_b]$
et le point de Gergonne:
$Ge=X_7=[(a-b+c)(a+b-c);\ (-a+b+c)(a+b-c);\ (-a+b+c)(a-b+c)]$ du triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
- DSBmath
- 31-10-2025 17:14:13
Merci Rescassol
Oui l'hyperbole en bleu dans la figure
C'est donc l'hyperbole de Feuerbach alors
Je vais voir tout cela en détail
Grand merci à vous Rescassol et Jelobreuil (je ne vouvoie pas, je tutoie mais comme vous êtes deux j'échappe à la règle donnée tantôt)
- Rescassol
- 31-10-2025 16:58:40
Bonjour,
La droite $(ST)$ passe également par le centre $O$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Elle est référencée dans l'ETC comme étant la deuxième "central line" sous le nom "OI Line".
C'est un diamètre du cercle circonscrit, donc son isogonale par rapport au triangle $ABC$ est une hyperbole équilatère circonscrite, dont une équation barycentrique est $a(b-c)(b-a+c)yz+b(c-a)(a-b+c)zx+c(a-b)(a+b-c)xy=0$
C'est l'hyperbole de Feuerbach du triangle $ABC$, centrée au point de Feuerbach
$X_{11}=[(b-c)^2(b-a+c);\ (a-c)^2(a-b+c);\ (a-b)^2(a+b-c)]$
D'autre part:
Iso1(x,y,z)=a*(b-c)*(b-a+c)*y*z + b*(c-a)*(a-b+c)*z*x + c*(a-b)*(a+b-c)*x*y;
Z=Factor(resultant(Iso1,ST*[x; y; z],z))
% On trouve Z=c*(a-c)*(b-c)*(a*y-b*x)^2*(a-b+c)*(b-a+c)
% I est solution double, d'où tangence
Cordialement,
Rescassol
- DSBmath
- 31-10-2025 15:32:58
Bonjour Jelobreuil et Rescassol
Entre parenthèses
Sur les-mathématiques . net il y a certainement un document qui en parle car j'ai fait une recherche google et je suis tombé sur un lien les-mathématiques.net mais voilà en cliquant il le télécharge tout de suite et je ne peux pas l'ouvrir
Il s'agit d'un dossier système
Voilà l'adresse du lien :
les-mathematiques.net/vanilla/uploads/dump_data/2007/0107/05/2768
Je ne place pas le lien car tout le monde n'a peut être pas envie qu'en cliquant il telecharge direct et en plus
Chose bizarre il fait 500 mégaoctet????
Comme je ne peux pas l'ouvrir je vais le supprimer
Mais bon tant pis ... je fais avec les moyens du bord et puis après on verra bien
Fin de la parenthèse
- DSBmath
- 31-10-2025 11:34:06
Merci Jelobreuil et Rescassol
Bah en fait une partie de ce qui m'intéresse est là >
D'une part $\ I,S,T\ $ sont alignés
D'autre part toutes les transformées isogonales de la droite $\ (ST)\ $ par rapport aux triangles images du triangle $\ ABC\ $ par des homothéties de centre $\ S\ $ sont tangentes à cette droite $\ (ST)\ $
Ainsi par exemple $\ I\ $ qui est donc un point de la droite $\ (ST)\ $ est le point de tangence de la transformée isogonale de cette droite
$\ (ST)\ $ par rapport au triangle $\ ABC\ $
Autre exemple $\ T\ $ qui est donc un point de la droite $\ (ST)\ $ est le point de tangence de la transformée isogonale de cette droite
$\ (ST)\ $ par rapport au triangle $\ A'B'C'\ $
et l'autre partie je dois voir car en fait je ne suis pas sûr que ce soit exact
Là de dois quitter (il est déjà 11h30)
Bonne journée Rescassol et Jelobreuil
- jelobreuil
- 31-10-2025 11:01:17
Bonjour, DSBmath, Rescassol,
Je suis votre échange avec grand intérêt, même si je n'y participe guère...
Amicalement, Jean-Louis B.
- Rescassol
- 31-10-2025 09:35:12
Bonjour,
La droite $(ST)$ est: $ST=[bc(b-c)(b-a+c),\ ac(c-a)(a-b+c),\ ab(a-b)(a+b-c)]$.
Cordialement,
Rescassol
- DSBmath
- 31-10-2025 05:16:52
Bonjour
Donc j'en arrivais qu'étant donné que T (alias donc X(65)) est l'orthocentre du triangle $F_aF_bF_c$ il arrive donc ce qui était demandé par Jelobreuil
$(F_aD_a)\perp (F_bF_c)$ , identiquement $(F_bD_b)\perp (F_cF_a)$ , identiquement $(F_cD_c)\perp (F_aF_b)$
son point $K$ est le point $D_a$ de ce propos
son point $D$ est le point $F_a$ de ce propos
son point $E$ est le point $F_b$ de ce propos
son point $F$ est le point $F_c$ de ce propos
et ce qui est demandé est $(DK)\perp (EF)$
Bref j'en arrive donc à cette droite (ST) donc alias (X(57)X(65))
( je n'avais pas encore calculé ce point T alias X(65) et je ne savais rien de lui)
Le temps passe et j'y reviendrai plus tard
- DSBmath
- 30-10-2025 19:30:25
Bonsoir Rescassol
en fait mon triangle virtuel dans un repère orthonormé $\left(O,\vec {i},\vec {j}\right)$
en considérant la base orthonormée $e=\left(\vec {i},\vec {j}\right)$
et si on prend
A(0;0)
B(13;0)
$C\left(\dfrac {107}{13};\dfrac {8\sqrt {35}}{13}\right)$
est un triangle 6_9_13
La base associée à ce triangle est $f=\left(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}\right)$
le déterminant de la base e vers la base f est donc de valeur $d=8\sqrt {35}$
Rescassol d'accord je vais tutoyer