Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Trisection d'un angle .

Salut

Sur un format A4 apparaissent deux demi axes Ox et Oy formant l'angle de valeur exacte [tex]\alpha=\frac{5\pi}{7}[/tex]

Cet angle est inconstructible . Mais , maintenant qu'on l'a sous les yeux , peut - on réaliser sa trisection ?

Amusez vous bien .

bridgslam

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour

Qu'est-ce qu'on a le droit de faire?
Si c'est un format A4 matériel (une feuille de papier par exemple), on peut faire des pliages?

Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour à tous !

En origami la trisection de l'angle existe ... pour un angle aigu ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (24-09-2025 09:37:58)

bridgslam

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour,

Sauf erreur, le japonais Abe donne un exemple de tel pliage.
On utilise l' "axiome 6" de l'origami, quand la construction par symétrie par rapport à une droite en lien avec cet axiome est effective ( on sait quand  ça marche.si on se creuse un peu).
Les axiomes 1 à 4 de l'origami sont des constructions toujours possibles, pas les 5 et 6.
A part l'avion  obtenu avec quelques pliages qui frôlait la blouse du prof ou celle des copains, au temps de vol incertain, ce n'est pas mon hobby, mais je reconnais que c'est parfois spectaculaire.

Bonne journée

jpp

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Re : Trisection d'un angle .

Salut,

En géométrie c'est uniquement crayon , règle non graduée et compas .

Donc pas de pliage.

bridgslam

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Re : Trisection d'un angle .

Hello,

Le crayon ne peut pas "marquer" sur la règle non plus ?

jpp

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Re : Trisection d'un angle .

Re,

Aucune marque sur la règle, il n'y a aucun truc , c'est juste du traçage .

jpp

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Re : Trisection d'un angle .

Salut ,

▼Un indice

En 6 tracés après 2 coups de règle et 4 coups de compas

jpp

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Re : Trisection d'un angle .

Salut ,

▼ second indice

Je trace la demi droite Ox' , puis avec un peu d'arithmétique le reste suit .

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour à tous !

Je sais (en principe) faire en origami !

MAIS je ne sais pas comment trouver l'axe de symétrie en "géométrie classique" ???

B-m

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour  à tous!

Voilà une manipulation GeoGebra pour trisection de jpp ! Pardon, de l'angle $\widehat{EOF}$.

Le positionnement de l'axe bleu s'est fait au coup par coup ... Le reste est de la géométrie pure (;-)

Bernard-maths

Dernière modification par yoshi (11-10-2025 13:15:57)

jpp

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Re : Trisection d'un angle .

Salut ;

▼une construction

Explication :  Le supplément de l'angle à "trisecter" : [tex]\cfrac{2\pi}{7}[/tex]

Dans ce cas :  [tex] 2\times\cfrac{2\pi}{7} - \cfrac{\pi}{3} = \cfrac{5\pi}{21} [/tex]

L'angle [tex]\widehat{BOT} =\cfrac{5\pi}{21} = 42°.857142... [/tex] sauf erreur .

Dernière modification par jpp (11-10-2025 13:24:39)

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour à tous !

Hum, jpp, j'ai du mal à comprendre... désolé ... un peu plus de détail ? merci !

Ca y est, j'ai compris !!!

Je propose une figure montrant comment on peut trisectionner un angle :

Le triangle ABC est isocèle de sommet A. En B et C on a tracé des segments [BD] et [CD] perpendiculaires aux côtés.

H est l'orthocentre de ABC. B' est symétrique de B par rapport à E, c' de c par rapport à F. On trace la demie droite [B C'), on a un angle DBC' en rouge.

Montrer que (BC) et (BF) partagent cet angle en trois angles de même mesure ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (12-10-2025 08:50:22)

Roro

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Re : Trisection d'un angle .

Bonsoir Bernard-maths,

Dans ton exemple, j'ai l'impression que tu montres qu'on peut tripler un angle, plutôt que le trisecter ?

Le principe de trisection est de se donner un angle, puis de le couper en trois, et non pas de construire une figure et de remarquer qu'un des angles est le triple d'un autre... mais j'ai sans doute louper un truc dans les discussions ci-dessus (car tu dois bien savoir que la trisection n'est pas possible en général). Peut être que ta figure fais référence à l'angle particulier de $5\pi/7$ évoqué par jpp au début, mais ou est-il sur ta figure ?

Roro.

Dernière modification par Roro (11-10-2025 17:27:56)

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonsoir Roro !

La dernière figure est là pour montrer le lien qu'il y a entre certains angles : un angle est partagé en trois angles égaux.

Pour un angle quelconque, je me suis inspiré de l'origami :

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q … i=89978449

Mais sans origami je ne vois pas comment faire géométriquement !

Par contre il est possible, pour tout angle (bien) aigu de faire quelques calculs (que je n'ai pas encore faits ...), pour tracer un bon triangle isocèle, et partager cet angle en trois angles égaux.

Bernard-maths

Roro

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Re : Trisection d'un angle .

Bonsoir,

Par contre il est possible, pour tout angle (bien) aigu de faire quelques calculs (que je n'ai pas encore faits ...), pour tracer un bon triangle isocèle, et partager cet angle en trois angles égaux.

Euh! Je ne comprend pas : si je te donne un angle aigu (n'importe lequel), tu peux me le trisecter avec une règle et un compas (sans pliage) ???

Roro.

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour Roro !

NON ! Ici il y a deux trucs en jeu.

La question de jpp, avec une méthode qu'il a donnée, pour un angle donné !

Et ma réaction, qui est soit origamique (je peux partager tout angle aigu par pliage), soit algébrique, car géométriquement, je reste encore coincé (pour tout angle aigu)

Je vais développer ce dernier point !

@ +, B-m

Bernard-maths

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Re : Trisection d'un angle .

Bonjour à tous !

Il est plus simple de voir sur Wikipedia ce qui existe, je vous laisse voir :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Trisection_de_l%27angle

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-10-2025 09:05:19)

jpp

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Re : Trisection d'un angle .

Salut ;

Ce qui est curieux avec [tex]\cfrac{\pi}{3}  [/tex]  &  [tex]\cfrac{\pi}{7}  [/tex] est que , seule la construction du premier est possible et seule la trisection du second est constructible à la règle et au compas .

Il existe une équation sympa qui ne possède que deux solutions démontrables géométriquement :

n est un entier positif ; résoudre :  [tex]\cos{\cfrac{\pi}{n}}\times \cos{\cfrac{2\pi}{n}}\times\cos{\cfrac{3\pi}{n}}=\cfrac{1}{n+1}[/tex]