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#2 04-10-2025 13:23:48
- Michel Coste
- Membre Expert
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- Messages : 1 464
Re : Un peu d'imagination arithmétique
Bonjour,
Vu que tout entier naturel est somme de quatre carrés (Lagrange), les triples des sommes de 4 carrés sont tout simplement les entiers naturels multiple de 3.
Pourquoi cette question ?
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#4 04-10-2025 16:48:20
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Un peu d'imagination arithmétique
Allez, je le fais pour 7 au lieu de 3 :
$$\begin{aligned}&(2^2+1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2+d^2)={}\\& \qquad(2a-b-c-d)^2+(2b+a+d-c)^2 +(2c+a+b-d)^2+(2d+a+c-b)^2\end{aligned}$$
Dernière modification par Michel Coste (04-10-2025 16:50:33)
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#5 04-10-2025 17:04:59
- bridgslam
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- Messages : 1 903
Re : Un peu d'imagination arithmétique
Bonsoir,
C'est l'idée, pour la question originale, on a juste à remarquer qu'un produit de sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés ( on peut utiliser les complexes ou les quaternions ).
Et 3 est une somme de quatre carrés.
Cela suffit pour la question posée.
Elle n'a plus d'intérêt bien-sûr si on connaît la propriété de Lagrange.
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#6 04-10-2025 18:19:54
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Un peu d'imagination arithmétique
Bonsoir,
on a juste à remarquer qu'un produit de sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés.
Il me semble que c'est justement de cette façon qu'on prouve que tout entier est somme de 4 carrés...
Roro.
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#7 04-10-2025 20:14:54
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 903
Re : Un peu d'imagination arithmétique
Bonsoir,
Sans doute ( et à vérifier) mais ce n'était pas la question posée par son auteur ( Lewis Caroll) dans un article de logique (repris dans un magazine Tangente).
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