Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

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Une petite énigme arithmétique

Bonjour,
 
  Pour se détendre en ce début de semaine, une petite énigme issue du calendrier mathématique du jour : combien y-a-t-il de nombres à quatre chiffres dont le produit des chiffres est égal à 343 ?

F.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Une petite énigme arithmétique

B'jour,

▼J'ai procédé ainsi :

$343=7^3$
Mais 4 chiffres sont demandés...
Donc le 4e, manquant, ne peut être que 1...
Et les dates possibles sont  alors :
1777, 7177, 7717, 7771
Quoique... en ce qui concerne  les dates aux 72e et 78e siècles, j'ai quelques doutes sur leur apparition au calendrier  : notre Terre aura bien sauté d'ici là !

@+

Roro

Membre expert

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Re : Une petite énigme arithmétique

Bonjour,

Je suis complètement d'accord avec Yoshi, mais je ne vois pas ce que vient faire son calendrier dans l'histoire... on ne cherche pas une date :-), même si l'énigme est issue d'un calendrier !

Roro.

Bernard-maths

Membre Expert

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Re : Une petite énigme arithmétique

Bonjour à tous !

J'aperçois le fameux nombre...

▼(Suspense...)

7³

Donc 3 chiffres 7 et 1 un pour compléter ! 4 nombres !

B-m

PS : combien y a t il de nombres à 1 million de chiffres dont le produit fait 343 ?

Dernière modification par yoshi (22-09-2025 15:36:31)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : Une petite énigme arithmétique

Bonjour,

Roro a raison, ayant lu en diagonale j'ai retenu "calendrier" et j'ai répondu en donnant des dates à 4 chiffres...
Mais revenant sur BibMath, que vois-je ?
La mention "fameux nombre" suivi dudit nombre  en clair permettant d'aboutir à la solution...
Fred risque la crise d'apoplexie !
Pauvre Fred qui s'était décarcassé pour adapter et ajouter cette balise au "moteur" du forum (d'origine, elle n'y figurait pas) afin de nous permettre de répondre tout en ménageant le suspense.

Je me suis donc senti obligé d'intervenir et d'ajouter des balises spoiler dans le post de B-m...

Ouf, ainsi, la santé de Fred a été préservée... ^_^

Bien à vous,

@+
Yoshimodo

bridgslam

Membre Expert

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Re : Une petite énigme arithmétique

Bonjour,

▼ Bernard

@Bernard :

$\binom {10^6}{3}$ ?

Bonne soirée

Bernard-maths

Membre Expert

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Re : Une petite énigme arithmétique

Il me semble bien, oui.

bridgslam

Membre Expert

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Messages : 1 903

Re : Une petite énigme arithmétique

Bonsoir

Autre question:
En base de numération 50, combien de nombres d'au plus 4 "chiffres"  ont le produit de leurs  "chiffres"  égal au nombre décimal 343?

▼j'espère ne pas en oublier

777
1777
7177
7717
7771
a7
7a
17a
1a7
71a
a17
7a1
a71
117a
11a7
171a
1a17
17a1
1a71
a117
711a
a171
71a1
a711
7a11

avec a le chiffre de valeur 49 en décimal.

Il y en a 25 sauf erreur...

Bonne nuit

Dernière modification par bridgslam (22-09-2025 20:01:34)

DeGeer

Membre

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Re : Une petite énigme arithmétique

Je trouve la même chose :

▼Texte caché

On a $343=7^3$ (écriture en base 10)
Les trois chiffres en base 50 qui sont susceptibles de figurer dans la décomposition de 343 sont 1, 7 et 49
Les nombres dont le produit des chiffres en base 50 vaut 343 (en base 10) et qui s'écrivent avec au plus 4 chiffres s'écrivent avec 2, 3 ou 4 chiffres.
2 chiffres : Ces deux chiffres sont nécessairement 7 et 49. Il y a donc 2 possibilités.

3 chiffres : Ces trois chiffres sont ou bien 3 chiffres 7, ou bien 1, 7 et 49.
Dans le premier cas, il y a 1 possibilité.
Dans le deuxième cas, il y a autant de possibilités que de permutations de 3 éléments, soit 3! = 6 possibilités.

4 chiffres : Il s'agit ou bien de trois 7 et un 1, ou bien d'un 7, un 49 et deux 1.
Dans le premier cas, il y a autant de possibilités qu'il y a de positions possibles pour le chiffre 1, soit 4 possibilités.
Dans le deuxième cas, il y a autant de possibilités qu'il y a d'arrangements de 2 éléments parmi 4 (les positions du 7 et du 49), soit $A_4^2=12$ possibilités.

Au final, on a 2 + 1 + 6 + 4 + 12 = 25 possibilités.