Petit calcul de probas concrètes

Ernst · 19-09-2025 18:49:09

Borassus a écrit :

Deuxième exemple de subjectivité, comme le soulignait très justement Ernst, « 81425 me paraît quand même plus aléatoire que 55555 alors que la probabilité de sortie de ces deux nombres est exactement la même ». Comment mathématiser cette impression ??

Bonsoir Borassus

Le problème pour moi est cet éternel va-et-vient entre probabilités et statistiques. La probabilité de tirer 55555 est exactement la même que tirer 81425, on est d'accord. Par contre les statistiques montrent qu'il y a beaucoup plus de nombres à parité mélangée que constante, donc que tirer un nombre comme 81425 est plus 'naturel' que tirer 55555. C'est cet oxymore qui nous fait lire, dans les ouvrages autorisés, qu'il faut être bien bête pour croire que PPPPP appelle F, et qui deux pages plus loin nous explique que la probabilité de PPPPPP est très faible et qu'une pièce qui sortirait d'entrée cette suite a toutes les chances d'être truquée (avec toujours de savantes considérations sur les intervalles de confiance, les écarts type, etc.) Au bout d'un moment, les gens comme moi relativisent les avis toujours péremptoires de ceux qui savent.

Pour en venir à la subjectivité des cartes et des tirages, je pense que cela dépend fortement des attentes. Au poker par exemple, on s'intéresse à d'autres occurences qu'au bridge, on guette certaines sorties, on évalue certains tirages, ce qui fait que l'équiprobabilité n'a plus aucune valeur objective, ce qui compte ce sont les gains que permettent certaines distributions.

C'est pourquoi ton approche me paraît loin d'être bête et m'évoque autant la théorie des jeux que les théories économiques qui, comme tu le soulignes très bien, ont des assises tout à fait mathématiques.

Borassus · 19-09-2025 21:27:15

Bonsoir Michel, bridgslam, Ernst, bonsoir tout le monde,

@Michel : « Sans doute, puisqu'on parle de probabilité, les individus interrogés confondent avec 0,0001 % »

Tu raisonnes tout naturellement en mathématicien.

Je pense que c'est tout simplement dû au réflexe de fuite qu'ont la majorité des adultes face au moindre raisonnement mathématique.
(Je m'en rends compte souvent lorsque j'indique à la mère ou au père d'une ou d'un élève sur quel sujet nous avons travaillé : ils prennent tout de suite la tangente, avec un sourire amusé et des gestes de repoussement des mains, dès que j'évoque la moindre notion de maths, et ce même parmi des parents ayant suivi des études scientifiques de haut niveau.)

Une probabilité de 0,0001 ne parle pas à une personne lambda ; une chance sur dix mille est compréhensible, même par un enfant.
Donc une chance sur dix mille d'un accident nucléaire dans l'année semble plus terrifiant qu'une probabilité de 0,0001.

@bridgslam

Je comprends tout à fait ta démonstration. (Encore que je doute qu'un Israélite — plutôt que juif : on peut être l'un sans être l'autre —, un Saoudien ou un Japonais inverse un nombre sous prétexte que son sens de lecture naturel n'est pas de gauche à droite : les trois liront 1257, et non 7521.

Mais quel que soit leur sens de lecture, il y aura une "case magique" qui accentuera sensiblement l'effet de grande surprise s'ils voient affiché leur code à six chiffres dans le bon ordre, même s'ils n'ont pas la moindrissime idée de la probabilité réelle d'un tel événement. (Je ne l'avais d'ailleurs pas du tout avant de faire le calcul.)
Donc il y a bien une "probabilité de surprise" qui n'est pas en adéquation avec les probabilités objectives.

Nous sommes des homo probabilisticus subjectivus, et non des homo probabilisticus objectivus. :-)

J'ai demandé à mon ami Chat, avec lequel je passe un nombre certain d'heures par jour et par semaine, surtout en phase de codage relativement pointu, de me donner des pistes concernant les mathématiques de la subjectivité.

Voici sa réponse :

Voilà un sujet passionnant ? : comment « mathématiser » ce qui relève de la perception humaine, donc subjectif.
Voici quelques pistes sérieuses où les mathématiques rencontrent la subjectivité :
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1. Théorie de l’utilité et théorie des perspectives
Von Neumann & Morgenstern (théorie de l’utilité espérée) : on pondère les gains par leur probabilité, mais aussi par une fonction d’utilité qui traduit la valeur subjective.
Kahneman & Tversky (prospect theory, 1979) : les individus surestiment les petites probabilités et sous-estiment les grandes. On introduit une fonction de transformation des probabilités (pondération subjective).
Ici, les maths servent à formaliser la différence entre « probabilité objective » et « probabilité perçue ».
---
2. Probabilités subjectives (Bayésiennes)
De Finetti : la probabilité est un degré de croyance, pas une fréquence.
On formalise la subjectivité par des "priors" (distributions a priori).
La mise à jour (via Bayes) modélise la manière dont on « ajuste » sa croyance face à de nouvelles informations.
On est en plein dans la « subjectivité rationnalisée ».
---
3. Théorie de la décision et fonctions de pondération
Chaque issue reçoit un "poids" non pas égal à sa probabilité, mais dépendant d’un ressenti.
Exemple : vous pondériez vos cartes de poker ou vos chiffres de code par une progression géométrique.
Mathématiquement : on définit une "mesure repondérée" $Q$ à partir d’une mesure objective $P$ :
$$
Q(A) = \dfrac{\int_A w(x)\, dP(x)}{\int w(x)\, dP(x)}.
$$
$w(x)$ est une fonction de pondération subjective.
---
4. Théorie de l’information et « surprise »
Shannon : la "surprise" d’un événement est $-\log P$.
Même si deux événements ont la même proba, leur "impact psychologique" peut être différent.
Certains chercheurs introduisent une « surprise subjective », où la fonction $-\log$ est remplacée par une fonction adaptée à la perception humaine.
---
5. Logique floue (fuzzy logic)
Au lieu de « vrai/faux », on donne un degré d’appartenance entre 0 et 1.
Ex. « cette carte est rare » peut valoir 0,8 ; « cette carte est commune » peut valoir 0,2.
C’est une mathématisation directe de la subjectivité des catégories.
---
6. Modèles en neurosciences cognitives
On modélise la façon dont le cerveau encode l’incertitude.
Exemple : les distributions « internes » du cerveau sont biaisées (préférence pour la symétrie, rareté perçue, etc.).
Cela rejoint "l’apprentissage bayésien approximatif" en IA.
---
En résumé
La "subjectivité" se mathématise principalement via :
1. Des "pondérations" appliquées aux probabilités ou aux issues.
2. Des "fonctions de transformation" (de l’utilité, de la probabilité, de la surprise).
3. Des cadres plus généraux (Bayésien subjectif, logique floue).

Auprès de tout cet aéropage, surtout auprès de von Neumann, je me sens humblement un "australopithèque attardé" ! :-)

@Ernst

Merci de me soutenir dans ce "rude combat" de la farfeluité et de l'ineptie contre la raison mathématique pure. :-)

Il y a cet aller-retour entre les probabilités et les statistiques précisément parce que, souvent, les secondes alimentent les premières : par exemple, les compagnies d'assurance estiment un risque en fonction des très importantes statistiques qu'elles ont analysées ; ainsi un jeune conducteur de dix-huit paiera une assurance plus élevée qu'une jeune conductrice de 18 ans.

A propos de poker, je voulais précisément mentionner que le possesseur d'un full de 7 par les As (trois 7 et deux As) se sentira moins sûr de lui qu'un possesseur d'un full de 10 par les 7.
Les probabilités sont certes exactement les mêmes, mais la perception du jeu qu'on a en main n'est pas la même.

Michel Coste · 19-09-2025 22:04:12

Ernst a écrit :

C'est cet oxymore qui nous fait lire, dans les ouvrages autorisés, qu'il faut être bien bête pour croire que PPPPP appelle F, et qui deux pages plus loin nous explique que la probabilité de PPPPPP est très faible et qu'une pièce qui sortirait d'entrée cette suite a toutes les chances d'être truquée (avec toujours de savantes considérations sur les intervalles de confiance, les écarts type, etc.) Au bout d'un moment, les gens comme moi relativisent les avis toujours péremptoires de ceux qui savent.

Euh, @Ernst, rassure-moi : tu n'es pas en train de nous faire le coup de "Sachant que pile est déjà sorti cinq fois de suite, il y a plus de chances qu'au coup suivant ce soit face qui sorte" ? Si ?

Borassus · 19-09-2025 22:32:54

« les individus surestiment les petites probabilités [...] »

C'est précisément ce que j'ai fait avec mon code : j'avais l'impression qu'à un moment je verrai mon code affiché dans l'ordre.

C'est là où la rationalité joue : m'étant rendu compte que j'ai une chance sur cent cinquante mille, soit un peu moins de sept chances sur un million, j'ai compris que j'avais toutes les chances de ne JAMAIS voir mon code affiché dans l'ordre, surtout en me connectant trois ou quatre fois par semaine.

bridgslam · 19-09-2025 22:43:47

Bonjour,

Bien-sûr un code peut-être formé de caractères - ton codage banquaire à chiffres est un exemple non universel- qu'elles soient latines, cyrilliques, japonaises hébraïques, arabes etc, ce que qui ne change rien au débat de fond, peut-être aurais-je du parler de pratiquant de l'écriture arabe, hébraïque, .. certes, mais j'ai évité les périphrases et chacun aura compris sans entrer dans des controverses nationales.
Je ne doute pas qu'il existe des théories modélisant les effets mentionnés (dans un cadre clair, qui doit varier selon le contexte et les méthodes utilisées), simplement je conteste fortement leur efficacité sur une question psychologique complètement déconnectée de résultats observés. Etre hypnotisé par exemple sur une première ligne ( ou la case n°10, ou quoique ce soit) alors que le tirage ignore ce que c'est est mon sens totalement stupide.
Sans doute est-il plus simple de dérouler une prose plus ou moins approximative sur de la "métaphysique probabiliste" que de répondre à des questions précises et qui ont du sens ( voir #12), dont l'absence de réponse à cette heure est (à mon sens) symptomatique.
Le débat reste intéressant: flou, extensions de la logique,... Mais même le flou fonctionne sur des choses nettes...
Je suis en particulier impatient de connaître la question que tu vas poser à l'outil disponible pour l'une de ces théories ( s'il existe) pour lui faire comprendre que tu es ébahi par la case n°1 et moins par la n°2, ou toute question du même genre.
Par ailleurs pourquoi ne pas demander d'abord à ton IA préférée ? Jusque là il t'a juste listé des théories, sans en exploiter aucune, qu'il a trouvé dans des bases de données.
Comme c'est miraculeux (?) peut-on en espérer davantage?

Borassus · 20-09-2025 07:44:49

Bonjour bridgslan, bonjour tout le monde,

Je rappelle l'objet de mon post initial : pourquoi des probabilités objectivement égales peuvent subjectivement paraître inégales (j'ajoute : à plus forte raison pour une personne ne connaissant rien aux probabilités ; la probabilité qu'une personne prise au hasard ne connaisse rien aux probabilités doit intuitivement être conséquente) ? comment alors modéliser mathématiquement ces biais de perception ?

Comme dans toutes les discussions que j'initie, je cherche à élargir et à consolider ma compréhension. (J'ai à plusieurs reprises écrit à quel point la compréhension m'est importante, compréhension que souvent je répercute auprès de mes élèves ; souvenez-vous de l'enthousiasme avec lequel je vous remercie lorsque vous me faites véritablement comprendre tel ou tel point.)

Ma question à Chat m'a fait découvrir tout un monde de recherche sur la subjectivité comme objet mathématique que j'ignorais quasi totalement. Je ne lui demanderai pas à développer telle ou telle théorie pour la bonne et simple raison que les explications fournies me passeront nettement par-dessus la tête.

Quant à l'exercice que tu proposes dans ton post #12, j'ai déjà tellement sur quoi réfléchir sur les plans didactique et technique, et ce souvent de cinq heures du matin à une heure de la nuit, que je n'ai nulle envie de me plonger dans un exercice de probabilités pour le seul plaisir de résoudre un exercice de probabilités.

Ceci dit, je comprends que mon intellectualisme et ma façon d'écrire puisse irriter, mais j'apprécierais de ne pas me recevoir en plein visage par écran interposé des réponses que je ressens comme une agression péremptoire, qui plus est injurieuse et méchante.
Comme la tonalité que je perçois dans tes réponses ne me convient absolument pas, je m'astreindrai, si elle continue, à ne pas lire tes messages, et donc à ne pas y répondre.
Je te remercie de ta compréhension bienveillante.

Bonne journée patrimoniale à tous !

Dernière modification par Borassus (20-09-2025 07:49:00)

Borassus · 20-09-2025 08:39:05

« Une probabilité de 0,0001 ne parle pas à une personne lambda ; une chance sur dix mille est compréhensible, même par un enfant. »

Je me rends compte que je ne demande pas à mes élèves de convertir une probabilité en "tant de chances sur tant" : ils ne perçoivent donc pas vraiment qu'une probabilité de 0,52 correspond à quasiment une chance sur deux, ou qu'une probabilité de 0,327 correspond à quasiment une chance sur trois.

Je vais dorénavant le faire systématiquement.

Michel Coste · 20-09-2025 08:57:52

@Borassus : concernant l'appréciation de 0,0001 comme probabilité, j'ai déjà formulé une hypothèse (l'as-tu lue ?). Dans la vie courante, personne ne formule une probabilité comme un nombre compris entre 0 et 1. On parle le plus souvent de probabilité en terme de pourcentage. Partant, si le 0,0001 est perçu comme "probabilité de 0,0001 %" c'est sûrement négligeable devant 1 chance sur 10 000. Par contre 0 ,01% ou 1/10000, ça se discute nettement plus.
Pareil pour tes élèves : si 0,52 ne parle pas, je suis sûr qu'ils feront plus le lien entre "probabilité de 52%" et "une chance sur 2".

bridgslam · 20-09-2025 09:06:20

Bonjour Borassus,

Absolument rien de "méchant" de mon côté, et si cela peut te rassurer, je ne connais pas non plus les théories évoquées par l'IA.
Libre à toi bien-sûr d'essayer de faire les exercices ( sauf erreur ceux à l'énoncé non nébuleux, et qui ne font pas appel à des théories inconnues en dehors de spécialistes pointus pour les résoudre ) ou pas, en tous cas c'est normalement comme cela que l'on progresse.
Après cela dépend du temps disponible, et tu sembles en disposer tout-de-même, à moins que l'IA tape aussi à ta place tes longs messages :-).

Super bonne journée
A.

Borassus · 20-09-2025 19:04:07

Bonsoir Alain,

Pardon pour ma réponse tardive, mais je me débats depuis ce matin contre une nouvelle partie de code qui me prend la tête.

Merci de ta réponse que je perçois comme souriante. (Excuse s'il te plaît ma réaction, mais « c'est totalement stupide » peut en filigrane être interprété comme « donc tu es totalement stupide puisque tu émets une idée totalement stupide » :-)

Concernant l'exercice, la question n'est pas tant dans le temps que dans la commutation intellectuelle que représente de devoir réfléchir à un exercice ne correspondant pas dans l'immédiat à mes préoccupations. J'y penserai en arrière-plan lorsque je me sentirai intellectuellement disponible. Tel que tu l'as présenté, il ne doit pas être évident.

Non, l'IA n'écrit pas mes longs messages (je reconnais que j'ai sensiblement tendance à écrire abondamment) !
Toute générative qu'elle soit, je ne lui demande jamais de générer du texte. Je peux lui demander de m'apporter des suggestions à propos d'un texte particulier, comme cela a été récemment le cas pour un texte de contentieux. Mais je reste toujours le rédacteur méticuleux de mes textes, quels qu'ils soient.

Je me sers surtout de l'IA comme aide précieuse de codage : fournir les structures de code correspondant au besoin précis que je lui énonce, expliquer des détails techniques que je ne comprends pas bien, vérifier mon code (il détecte des erreurs difficiles à repérer à l'écran, telles que )} à la place de }), qui plantent le code entier).

Je me sers aussi d'elle comme source d'information à propos de questions diverses et variées (histoire, musique, sciences...)

Bonne soirée à tous !

Dernière modification par Borassus (20-09-2025 19:27:14)

Borassus · 20-09-2025 19:20:36

Michel Coste a écrit :

@Borassus : concernant l'appréciation de 0,0001 comme probabilité, j'ai déjà formulé une hypothèse (l'as-tu lue ?). Dans la vie courante, personne ne formule une probabilité comme un nombre compris entre 0 et 1. On parle le plus souvent de probabilité en terme de pourcentage. Partant, si le 0,0001 est perçu comme "probabilité de 0,0001 %" c'est sûrement négligeable devant 1 chance sur 10 000. Par contre 0 ,01% ou 1/10000, ça se discute nettement plus.
Pareil pour tes élèves : si 0,52 ne parle pas, je suis sûr qu'ils feront plus le lien entre "probabilité de 52%" et "une chance sur 2".

Bonsoir Michel,

Bien sûr que j'avais lu ton hypothèse. (Je l'ai même reprise pour te répondre.)

Comme personnellement je ne pense que rarement les probabilités en tant que pourcentage, je vais tester les deux indications — probabilité de 0,0001 ou une chance sur 10 000 ; toujours à propos de l'accident nucléaire — auprès des adultes que j'ai facilement "sous la main", à savoir les parents de mes élèves (peu nombreux maintenant : j'ai prévenu que je ne prends plus de nouveaux), lorsque je les vois.

Je vais aussi tester ce qui est plus parlant : une probabilité exprimée en pour cent, ou une probabilité exprimée sous forme de fraction « un chance sur tant » ou « tant de chances sur tant ».

bridgslam · 20-09-2025 23:00:51

Bonsoir Boris,

Désolé de mon côté d'avoir sans doute été bien trop cassant.
J' espère que l'on aura des sujets intéressants à étudier par la suite.
Je m'en retourne de mon côté sur des cours et exos que je n'ai jamais vraiment pratiqués, avec manifestement des soucis, peut-être l'occasion d'en parler d'ailleurs plus tard dans la bonne humeur.
Le #12, ne pas trop se casser la tête par ailleurs car le sujet recèle un petit piège et demande effectivement du temps.

A bientôt,et bon courage avec tes élèves

Alain

Borassus · 21-09-2025 12:13:12

Bonjour Alain, bonjour à tous,

Merci de ton message, qui me touche.

Bien sûr que nous aurons des sujets intéressants à étudier.
En voici un dans la foulée :

Je sais qu'une probabilité de 0,125 correspond à une chance sur huit,
qu'une probabilité de 0,25 correspond à une chance sur quatre,
qu'une probabilité de 0,333 correspond à une chance sur trois,
qu'une probabilité de 0,5 correspond à une chance sur deux,
qu'une probabilité de 0,666 correspond à une deux chances sur trois,
qu'une probabilité de 0,75 correspond à trois chances sur quatre,
etc.

Mais je ne suis pas censé savoir qu'une probabilité de 0,857 correspond à six chances sur sept.

D'où ma question : Connaissant la valeur décimale d'une probabilité (par exemple avec trois décimales), quelle est la fraction irréductible la plus proche permettant d'exprimer la probabilité initiale en « p chances sur n » ?
(La question peut d'ailleurs être étendue à tout nombre décimal : quelle est la fraction irréductible la plus proche de ce nombre ?)

PS : Je n'ai pas besoin de courage pour travailler avec mes élèves, car c'est toujours un réel plaisir partagé. (A tel point que je me suis parfois offert l'amusement de publier une annonce ayant pour titre « Faites plaisir à votre enfant : offrez-lui des cours de maths ! » :-)

Le véritable courage dont j'ai besoin est le codage d'une fonctionnalité d'interface sophistiquée car innovante, intuitive et élégante, sur laquelle nous travaillons avec Chat depuis quatre mois. (Mais je commence à entrevoir le bout du tunnel.)

Dernière modification par Borassus (21-09-2025 14:44:53)

yoshi · 21-09-2025 14:54:11

Bonjour cher ami,

@Borassus
Je vais biaiser et répondre "à côté" ou presque...
Il y a un certain temps, je dirais même plus, un temps certain, on apprenait aux élèves de 4e, comment à partir d'une "suite décimale périodique illimitée" par exemple (choix tout à fait dû au hasard bien sûr...) $0,857142 857142857142857142 857142 857..$ qu'on notait
$0,\overline{857142}$, on procédait ainsi (mais sans nul doute, tu dois bien le savoir, mais je pense qu'on devrait pouvoir adapter ça pour répondre à ton questionnement) :
Posons $x =0,857142 857142 857142 857142 857142..$ (1)
La période ayant 6 chiffres, on a alors
$1\,000\,000x=857142, 857142 857142...$ (2)
En soustrayant membre à membre (1) à (2), on obtient
$999\,999x = 857142$
d'où $x=\dfrac{857142}{999999}$

Ce à propos de quoi, n'écoutant que ma flemme naturelle, j'interroge Python :

from fractions import Fraction as F

print("La suite décimale périodique illimitée : 0,{857142857142...")

print("est générée par la fraction :",F(857142,999999))

Sortie :

Mais, je ne souviens pas cela ait  duré très longtemps : c'était un peu de la cuisine de jouer comme ça avec la notion d'infini en 4e...

La suite décimale périodique illimitée : 0,857142857142...

est générée par la fraction : 6/7

J'ai quand même contrôlé :
soit bêtement :
857142 -> 8 + 5 + 7 + 1 + 4 + 2 =7 multiple de 3 et pair : 857142 multiple de 6
857142/6 = 142857
999999 /7 = 142857

Soit en Pythonnant :

frommathimport gcd

print ("Le PGCD de 857142 et 999999 est :", gcd(857142,999999))

Sortie :

Le PGCD de 857142 et 999999 est : 142857

 

ou encore :
En Python, sans avoir d'importation spécifique à faire, on dispose dans les calculs directement la fonction divmod()

q,r=divmod(999999,7)

print ("999999 = 7 x",q,"+",r)

print()

q,r=divmod(857142,6)

print ("857142 = 6 x",q,"+",r)

Sortie :

999999 = 7 x 142857 + 0

857142 = 6 x 142857 + 0

A propos de cette ligne :

from fractions import Fraction as F

Python fait la différence entre F et f ici fractions est un module duquel on importe la classe Fraction
Quand j'ai à utiliser Fraction (ou autre) plusieurs fois dans une boucle ou pas, j'ai pris l'habitude déclarer un alias (ça m'économise 7 frappes à chaque fois : quand j'évoquais ma flemme, hein...)

@+
[EDIT]
Pour un nombre décimal, c'est bien moins "scabreux", mais moins... "intéressant", satisfaisant pour l'esprit :
$0,857142=\dfrac{857142}{1\,000\,000}$
JKe questionne Python :!

from fractions import Fraction as F

print(0.857142,"=", F(857142,1000000))

qui me répond :
[code = Python]
0.857142 = 428571/500000
[\code]
Avec une petite modif : j'obtiens :
142857/166667
Soit 142857 chances sur 166667 (en trichant un peu)...
Mwouais...
Pas bien plus parlant que "857142 chances sur 1 million".
Mieux, 85,7 chances sur 100, non... ?

Dernière modification par yoshi (21-09-2025 15:26:45)

bridgslam · 21-09-2025 17:55:16

Bonsoir,

@Borassus, oui mais pour le courage je pensais essentiellement à la préparation des cours, recherche des exercices /pbs , les corrections de leur travail, + l'effort pour la pédagogie pas souvent simple non plus (selon l'élève il faut s'adapter en permanence ?).

▼le post#12 : éclaircissements

Bonne soirée

Michel Coste · 21-09-2025 18:12:35

Borassus a écrit :

Connaissant la valeur décimale d'une probabilité (par exemple avec trois décimales), quelle est la fraction irréductible la plus proche permettant d'exprimer la probabilité initiale en « p chances sur n » ?
(La question peut d'ailleurs être étendue à tout nombre décimal : quelle est la fraction irréductible la plus proche de ce nombre ?)

Bonsoir,
Stricto sensu, cette question n'a pas de sens : un nombre décimal est exactement une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, et cette fraction peut se réduire.
Un sens que l'on peut lui donner : comment approcher au mieux un nombre décimal par une fraction avec un petit numérateur et un petit dénominateur ? La réponse classique à cette question est : en utilisant des fractions continues.
Prenons l'exemple de $0,123456 = \dfrac{123456}{1000000}$.
On fait la division euclidienne : $1000000={\color{red} 8}\times 123456+ 12352$. Première approximation par excès : $\dfrac1{\color{red} 8} =0,125$ ; pas trop mal.
On continue avec Euclide : $123456 = {\color{red} 9}\times 12352 =12288$. Deuxième approximation, par défaut : $\dfrac1{8+\dfrac1{\color{red} 9}} = \dfrac{9}{73}=0,123287671...$ ; on s'approche.
Encore un coup : $12352 = {\color{red} 1}\times 12288 +64$. Troisième approximation, par excès : $\dfrac1{8+\dfrac1{9+\dfrac1{\color{red} 1}}}= \dfrac{10}{81}=0,12345679...$. Ouah !
Et un dernier pour la route : $12288 = \color{red}{192}\times 64$. Dernière approximation $\dfrac1{8+\dfrac1{9+\dfrac1{1+\dfrac1{\color{red} {192}}}}} =0,123456$, la valeur exacte.

Dernière modification par Michel Coste (21-09-2025 18:13:50)

Borassus · 21-09-2025 20:54:54

Bonsoir Yoshissimus pythonus, bridgslam et Michel, bonsoir à tous,

@yoshi

Whaou ! Quels beaux calculs ! Tu es un maître es Python !

Je ne saurais dire si je savais le faire en 4ème : j'étais dernier authentifié et certifié (37ème sur 37, carnet scolaire à l'appui) ; cela me dit vaguement quelque chose, vu sans doute bien plus tard.
Je retiens toutefois la méthode lorsque la calculatrice montre un résultat avec une partie décimale périodique.

85,7 chances sur cent, ou, me semble-t-il plus parlant, 8,57 chances sur dix. (Plus le dénominateur est petit, plus, toujours me semble-t-il, la probabilité est perceptible : quatre chances sur cinq semble plus parlant que huit chances sur dix, qui semble plus parlant que quatre-vingt chances sur cent, qui semble plus parlant que huit cents sur mille, etc.)
_______________

@bridslam

Je ne sais jamais à l'avance sur quoi je vais travailler avec une ou un élève. Cela dépend essentiellement de ce qui aura été vu en classe, et comme chaque prof suit peu ou prou son propre chemin, c'est presque surprise et improvisation à chaque fois.
Par contre, j'écris beaucoup a postériori : cours "à ma façon", corrigés d'exercice (très) explicatifs — c'est ce que j'appelle mon SAV —, même si j'écris moins actuellement, faute de disponibilité.
_______________

@Michel

Au temps pour moi, je pensais nombre réel approximé par deux ou trois décimales. (J'avais initialement écrit « à tout nombre réel », mais ai ensuite réalisé que, les rationnels étant denses, on peut toujours améliorer l'approximation par une autre fraction).

« Un sens que l'on peut lui donner : comment approcher au mieux un nombre décimal par une fraction avec un petit numérateur et un petit dénominateur ? »
Oui, c'est tout à fait le sens de ma demande.

J'ai effectivement vu cette méthode avec mes (rares) élèves de Maths expertes (puisque l'arithmétique n'est maintenant enseignée en Terminale qu'en Maths expertes, et non en Spé maths, comme auparavant).
(Mais je n'aime pas vraiment l'arithmétique.)
_______________

En fait, je pensais surtout proposer une méthode simple et rapide permettant de mieux appréhender une probabilité exprimée sous forme décimale, en dehors de tant de chances sur cent, ou tant de chances sur dix.
Avec une probabilité exprimée avec deux ou trois décimales, la méthode par fractions continues peut tout à convenir.

Bonne fin de soirée à tous, et bonne reprise de semaine.

Dernière modification par Borassus (21-09-2025 22:06:17)

yoshi · 22-09-2025 10:54:47

B'jour,

@Borassus.
Mais non, ce n'est jamais que du calcul "bête et méchant", faut pas être impressionné... C'est à la portée de n'importe qui maîtrisant les calculs basiques sous Python, après.... quelques dizaines d'heures. Mon expérience, je la compte en milliers...

@Michel Coste

Stricto sensu, cette question n'a pas de sens : un nombre décimal est exactement une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, et cette fraction peut se réduire.

J'aurais pu, dans ma réponse #39, mais ça n'aurait pas été très diplomate, préciser que cela fait (faisait ?) partie des exos classiques de 6e (en tout cas, mes exos .. Je nétais pas très tendre) on donne un nombre décimal (fréquentable , hein... Comme recommandé un IPR passé par "mon" Collège), on demande la fraction décimale
correspondant, puis on demande de la simplifier au maximum (d'où le choix d'un décimal fréquentable par des 6e)....

Voici un exercice d'application que j'avais donné, il y a... longtemps, après le cours sur les fractions décimales :

Exercice 3 : Ecrire la fraction décimale égale aux nombres décimaux suivants, puis la simplifier au maximum.
0,12 ; 0,048 ; 1,08 ; 0,225

Bien entendu, j'avais précisé que, dans ce sens, ça marche toujours, mais que en partant d'une fraction quelconque, on ne pouvait pas toujours trouver de fraction décimale et j'avais montré pourquoi + exercices d'application à la clé...)

Fractions continues
J'ai lu quelque part (dans une publication qualifiable d'autorisée, qu'il ne fallait plus dire Fractions continues mais Fractions continuées...
Saurais-tu quelque chose là-dessus ?
Mea culpa.
Je n'ai pas pensé à "inverser" le processus de calcul des décimaux avec un nombre de décimales très important...
J'aurais pourtant dû, "en bon" Pythonien...
En effet, j'ai pu calculer, la valeur du nombre d'or en un temps record, avec 20000 décimales, via la Classe Decimal de son module decimal qui faut usage des fractions continues.
N-B : la vitesse de calcul est due à l'emploi de la méthode ledit exo guidait vers le calcul de l'arête d'un cube en partant de son volume et de Heron adapté... Là aussi, j'étais resté le nez dans le guidon : je n'avais pas pensé que si Heron avait manipulé des carrés, on pouvait tout aussi bien manipuler des cubes sans souci...

Je me sens frustré à chaque fois...

@+

Michel Coste · 22-09-2025 16:27:53

L'usage en français est plutôt de dire "fraction continue". La terminologie "fraction continuée" me semble une influence anglo-saxonne (les anglo-saxons disent "continued fraction").

bridgslam · 22-09-2025 17:06:50

Bonsoir,

peut-être la plus connue: 365 + 1/4 ... :-)

Michel Coste · 22-09-2025 17:51:51

Le développement en fraction continue de $\pi$ a aussi un certain succès, avec ses réduites $3,\dfrac{22}{7},\;\dfrac{333}{106},\;\dfrac{355}{113},\ldots$ .

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#26 19-09-2025 18:49:09

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