Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

peut-être la plus connue: 365 + 1/4 ... :-)

B'jour,

@Borassus.
Mais non, ce n'est jamais que du calcul "bête et méchant", faut pas être impressionné... C'est à la portée de n'importe qui maîtrisant les calculs basiques sous Python, après.... quelques dizaines d'heures. Mon expérience, je la compte en milliers...

@Michel Coste

J'aurais pu, dans ma  réponse #39, mais ça n'aurait pas été très diplomate, préciser que cela fait (faisait ?) partie  des exos classiques de 6e (en tout cas, mes exos .. Je nétais pas très tendre) on donne un nombre décimal (fréquentable , hein... Comme recommandé un IPR passé par "mon" Collège), on demande la fraction décimale
correspondant, puis on demande de la simplifier au maximum (d'où le choix d'un décimal fréquentable par des 6e)....

Voici un exercice d'application que j'avais donné, il y a... longtemps, après le cours sur les fractions décimales :

Bien entendu, j'avais précisé que, dans ce sens, ça marche toujours, mais que en  partant d'une fraction quelconque, on ne pouvait pas toujours trouver de fraction décimale  et j'avais montré pourquoi + exercices d'application à la clé...)

Fractions continues
J'ai lu quelque part (dans une publication qualifiable d'autorisée, qu'il ne fallait plus dire Fractions continues mais Fractions continuées...
Saurais-tu quelque chose là-dessus ?
Mea culpa.
Je n'ai pas pensé à "inverser" le processus de calcul des décimaux avec un nombre de décimales très important...
J'aurais pourtant dû, "en bon" Pythonien...
En effet, j'ai pu calculer, la valeur du nombre d'or en un temps record, avec 20000 décimales, via la Classe Decimal de son module decimal qui faut usage des fractions continues.
N-B :  la vitesse de calcul est due à l'emploi de la méthode  ledit exo guidait vers le calcul de l'arête d'un cube en partant de son volume et de Heron adapté... Là aussi, j'étais resté le nez dans le guidon : je n'avais pas pensé que si Heron avait manipulé des carrés, on pouvait tout aussi bien manipuler des cubes sans souci...

Je me sens frustré à chaque fois...

@+

Bonsoir,
Stricto sensu, cette question n'a pas de sens : un nombre décimal est exactement une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, et cette fraction peut se réduire.
Un sens que l'on peut lui donner : comment approcher au mieux un nombre décimal par une fraction avec un petit numérateur et un petit dénominateur ? La réponse classique à cette question est : en utilisant des fractions continues.
Prenons l'exemple de $0,123456 = \dfrac{123456}{1000000}$.
On fait la division euclidienne : $1000000={\color{red} 8}\times 123456+ 12352$. Première approximation par excès : $\dfrac1{\color{red} 8} =0,125$ ; pas trop mal.
On continue avec Euclide : $123456 = {\color{red} 9}\times 12352 =12288$. Deuxième approximation, par défaut : $\dfrac1{8+\dfrac1{\color{red} 9}} = \dfrac{9}{73}=0,123287671...$ ; on s'approche.
Encore un coup : $12352 = {\color{red} 1}\times 12288 +64$. Troisième approximation, par excès : $\dfrac1{8+\dfrac1{9+\dfrac1{\color{red} 1}}}= \dfrac{10}{81}=0,12345679...$. Ouah !
Et un dernier pour la route : $12288 = \color{red}{192}\times 64$. Dernière approximation $\dfrac1{8+\dfrac1{9+\dfrac1{1+\dfrac1{\color{red} {192}}}}} =0,123456$, la valeur exacte.

Bonjour cher ami,

@Borassus
Je vais biaiser et répondre "à côté" ou presque...
Il y a un certain temps, je dirais même plus, un temps certain, on apprenait aux élèves de 4e, comment à partir d'une "suite décimale périodique illimitée" par exemple (choix tout à fait dû au hasard bien sûr...) $0,857142 857142857142857142 857142 857..$ qu'on notait
$0,\overline{857142}$, on procédait ainsi (mais sans nul doute, tu dois bien le savoir, mais je pense qu'on devrait pouvoir adapter ça pour répondre à ton questionnement) :
Posons $x =0,857142 857142 857142 857142 857142..$ (1)
La période ayant 6 chiffres, on a alors
$1\,000\,000x=857142, 857142 857142...$ (2)
En soustrayant membre à membre (1) à (2), on obtient
$999\,999x = 857142$
d'où $x=\dfrac{857142}{999999}$

Ce à propos de quoi, n'écoutant que ma flemme naturelle, j'interroge Python :

Sortie :

J'ai quand même contrôlé :
soit bêtement :
857142  -> 8 + 5 +  7 + 1 + 4 + 2 =7 multiple de 3 et pair : 857142 multiple de 6
857142/6  = 142857
999999 /7 = 142857

Soit en Pythonnant :

Sortie :

ou encore :
En Python, sans avoir d'importation spécifique à faire, on dispose dans les calculs directement la fonction divmod()

Sortie :

A propos de cette ligne :

Python fait la différence entre F et f ici fractions est un module duquel on importe la classe Fraction
Quand j'ai à utiliser Fraction (ou autre) plusieurs fois dans une boucle ou pas, j'ai pris l'habitude déclarer un alias (ça m'économise 7 frappes à chaque fois : quand j'évoquais ma flemme, hein...)

@+
[EDIT]
Pour un nombre décimal, c'est bien moins "scabreux", mais moins... "intéressant", satisfaisant pour l'esprit :
$0,857142=\dfrac{857142}{1\,000\,000}$
JKe questionne  Python :!

qui me répond :
[code = Python]
0.857142 = 428571/500000
[\code]
Avec une petite modif : j'obtiens :
142857/166667
Soit 142857 chances sur 166667 (en trichant un peu)...
Mwouais...
Pas bien plus parlant que "857142 chances sur 1 million".
Mieux, 85,7 chances sur 100, non... ?

Bonsoir Boris,

Désolé de mon côté d'avoir sans doute été bien trop cassant.
J' espère que l'on aura des sujets  intéressants à étudier par la suite.
Je m'en retourne de mon côté sur des cours et exos que je n'ai jamais vraiment pratiqués, avec manifestement des soucis, peut-être l'occasion d'en parler d'ailleurs plus tard dans la bonne humeur.
Le #12, ne pas trop se casser la tête par ailleurs  car le sujet recèle un petit piège et demande effectivement du temps.

A bientôt,et bon courage avec tes élèves

Alain

Bonsoir Alain,

Pardon pour ma réponse tardive, mais je me débats depuis ce matin contre une nouvelle partie de code qui me prend la tête.

Merci de ta réponse que je perçois comme souriante. (Excuse s'il te plaît ma réaction, mais « c'est totalement stupide » peut en filigrane être interprété comme « donc tu es totalement stupide puisque tu émets une idée totalement stupide » :-)

Concernant l'exercice, la question n'est pas tant dans le temps que dans la commutation intellectuelle que représente de devoir réfléchir à un exercice ne correspondant pas dans l'immédiat à mes préoccupations. J'y penserai en arrière-plan lorsque je me sentirai intellectuellement disponible. Tel que tu l'as présenté, il ne doit pas être évident.

Non, l'IA n'écrit pas mes longs messages (je reconnais que j'ai sensiblement tendance à écrire abondamment) ! 
Toute générative qu'elle soit, je ne lui demande jamais de générer du texte. Je peux lui demander de m'apporter des suggestions à propos d'un texte particulier, comme cela a été récemment le cas pour un texte de contentieux. Mais je reste toujours le rédacteur méticuleux de mes textes, quels qu'ils soient.

Je me sers surtout de l'IA comme aide précieuse de codage : fournir les structures de code correspondant au besoin précis que je lui énonce, expliquer des détails techniques que je ne comprends pas bien, vérifier mon code (il détecte des erreurs difficiles à repérer à l'écran, telles que )} à la place de }), qui plantent le code entier).

Je me sers aussi d'elle comme source d'information à propos de questions diverses et variées (histoire, musique, sciences...)

Bonne soirée à tous !

@Borassus : concernant l'appréciation de 0,0001 comme probabilité, j'ai déjà formulé une hypothèse (l'as-tu lue ?). Dans la vie courante, personne ne formule une probabilité comme un nombre compris entre 0 et 1. On parle le plus souvent de probabilité en terme de pourcentage. Partant, si le 0,0001 est perçu comme "probabilité de 0,0001 %" c'est sûrement négligeable devant 1 chance sur 10 000. Par contre 0 ,01% ou 1/10000, ça se discute nettement plus.
Pareil pour tes élèves : si 0,52 ne parle pas, je suis sûr qu'ils feront plus le lien entre "probabilité de 52%" et "une chance sur 2".