Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lulupictou

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somme directe et application stable

Bonjour !
Je suis en L2 maths, et en algèbre on utilise souvent les termes de "somme directe" et "d'application stable par u"...

Cependant, même avoir repris mon cours et regarder des vidéos sur youtube je comprends pas vraiment la notion de somme directe.. J'ai compris que pour que l'addition de deux éléments de chaque ensemble soit égal à 0, il faut que ces deux éléments soient 0. Mais je ne comprends pas trop l'intérêt et sa nécessité dans un bon nombre de théorèmes d'algèbre. Pouvez-vous m'aider svp ?

Aussi, quand il est noté "application stable" c'est sous-entendu par la multiplication ? par l'addition ? les deux ?

Merci !
Crdt

Michel Coste

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Re : somme directe et application stable

Bonsoir,
Le fait justement que la notion de somme directe revient dans pas mal de théorèmes d'algèbre devrait te montrer son utilité !
Des sous-espaces $F_1, \ldots, F_p$ sont en somme directe si et seulement si tout élément $x$ de leur somme s'écrit de manière unique comme $x=y_1+\cdots+y_p$ avec  les $y_i$ dans $F_i$. Autrement dit, si et seulement si $z_1+\cdots+z_p=0$ avec $z_i\in F_i$ entraîne $z_1=\ldots=z_p=0$.
Plutôt que "application stable par $u$", n'est-ce pas plutôt "sous-espace stable par $u$" ? Une sous espace $F$ de $E$ est stable par un endomorphisme $u$ de $E$ quand $u(F)\subset F$.