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#1 01-03-2025 13:19:50
- JJJ
- Invité
Aide exercice sur la continuité
Bonjour, pourriez vous m'aider pour cette exercice ?
[img=Exercice 7]file:///C:/Users/antpa/Pictures/Screenshots/Capture%20d'%C3%A9cran%202025-03-01%20123720.png[/img]
#2 01-03-2025 14:02:36
- JJJ
- Invité
Re : Aide exercice sur la continuité
– Soit f : R → R continue en 0 telle que :
∀x ∈ R, f(3x) = f(x)
Montrer que f est constante
#3 01-03-2025 14:31:46
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : Aide exercice sur la continuité
Bonjour,
Tu as par exemple $f(2)=f(2/3)=f(2/9)=f(2/27)=f(2/81)=\ldots$
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#4 01-03-2025 15:10:52
- JJJ
- Invité
Re : Aide exercice sur la continuité
Il faudrait faire une récurrence par rapport aux puissances de 3 ?
#5 01-03-2025 15:40:46
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : Aide exercice sur la continuité
Ne vois tu pas comment utiliser la continuité en $0$ ?
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#6 01-03-2025 17:37:15
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Aide exercice sur la continuité
Bonjour,
Côté algébrique tu peux t'inspirer de l'idée de Michel Coste: que montre-t-elle ?
Ensuite, branche plus analyse, comment montre-t-on souvent que deux nombres réels sont égaux ?
Comment y parvenir grâce à l'indication de Michel?
Une alternative est d'utiliser les suites.
Pour x réel donné, tu peux considérer une suite $u_x$ intéressante à deux titres:
- sa suite image $(f(u_x))$ est constante
- $(u_x)$ est convergente
Compte-tenu de la continuité de f en 0, un résultat classique liée aux suites permet de conclure.
Bon courage
Dernière modification par bridgslam (01-03-2025 19:00:46)
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#7 01-03-2025 20:50:20
- JJJ
- Invité
Re : Aide exercice sur la continuité
On peut montrer que pour tout y, f(y/3^n)=f(y) puis on utilise la continuité en 0 pour dire que la limite de f(y/3^n) en +infini est égal à f(0), donc pour tout y f(y)=f(0) ?
#8 01-03-2025 21:01:16
- bridgslam
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Re : Aide exercice sur la continuité
Bonsoir,
Plus généralement, si f est continue en a, et s'il existe une fonction g telle que f = fog, sous réserve que les suites $( g^n(x))$ ( les composées) convergent vers a pour tout x, alors f est constante.
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#10 01-03-2025 23:00:26
- bridgslam
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Re : Aide exercice sur la continuité
Bonsoir,
C'est bien cela.
L'autre possibilité était au moins aussi directe en revenant à la définition de la continuité.
Pour tout x et tout écart e fixé, f(x) s'écarte de f(0) de moins de e puisque f(x) est aussi l'image d'un x' suffisament proche de 0 pour que f(x') s'écarte de f(0) de moins de e.
e étant arbitraire f(x) =f(0).
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#11 02-03-2025 08:06:49
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : Aide exercice sur la continuité
Bonjour,
Pourquoi introduire un raisonnement par l'absurde alors qu'on a un raisonnement direct ?
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#13 02-03-2025 14:05:39
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : Aide exercice sur la continuité
Soit $a\in \mathbb R$. La suite $(3^{-n}a)_{n\in \mathbb N}$ converge vers $0$. Puisque $f$ est continue en $0$, la suite $(f(3^{-n}a))_{n\in \mathbb N}$ converge vers $f(0)$. Comme $f(3x)=f(x)$ pour tout réel $x$, la suite $(f(3^{-n}a))_{n\in \mathbb N}$ est constante de valeur $f(a)$. Donc $f(a)=f(0)$.
On peut effectivement ajouter l'hypothèse $f(a)\neq f(0)$ au début et constater qu'on arrive à une contradiction, mais franchement je ne vois pas l'intérêt de cette démarche.
On rencontre assez souvent des raisonnements par l'absurde alors qu'un raisonnement direct va très bien. Les cas où on a besoin d'un vrai raisonnement par l'absurde sont exceptionnels.
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