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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 02-03-2025 14:05:39
Soit $a\in \mathbb R$. La suite $(3^{-n}a)_{n\in \mathbb N}$ converge vers $0$. Puisque $f$ est continue en $0$, la suite $(f(3^{-n}a))_{n\in \mathbb N}$ converge vers $f(0)$. Comme $f(3x)=f(x)$ pour tout réel $x$, la suite $(f(3^{-n}a))_{n\in \mathbb N}$ est constante de valeur $f(a)$. Donc $f(a)=f(0)$.
On peut effectivement ajouter l'hypothèse $f(a)\neq f(0)$ au début et constater qu'on arrive à une contradiction, mais franchement je ne vois pas l'intérêt de cette démarche.
On rencontre assez souvent des raisonnements par l'absurde alors qu'un raisonnement direct va très bien. Les cas où on a besoin d'un vrai raisonnement par l'absurde sont exceptionnels.
- Zebulor
- 02-03-2025 09:23:04
Bonjour,
ceux qui exploreront le raisonnement par l'absurde donneront leur propre réponse à la question de Michel :-)
- Michel Coste
- 02-03-2025 08:06:49
Bonjour,
Pourquoi introduire un raisonnement par l'absurde alors qu'on a un raisonnement direct ?
- bridgslam
- 01-03-2025 23:00:26
Bonsoir,
C'est bien cela.
L'autre possibilité était au moins aussi directe en revenant à la définition de la continuité.
Pour tout x et tout écart e fixé, f(x) s'écarte de f(0) de moins de e puisque f(x) est aussi l'image d'un x' suffisament proche de 0 pour que f(x') s'écarte de f(0) de moins de e.
e étant arbitraire f(x) =f(0).
- Zebulor
- 01-03-2025 21:29:12
Bonsoir,
une variante est de supposer que $f$ n'est pas constante pour aboutir à une contradiction
- bridgslam
- 01-03-2025 21:01:16
Bonsoir,
Plus généralement, si f est continue en a, et s'il existe une fonction g telle que f = fog, sous réserve que les suites $( g^n(x))$ ( les composées) convergent vers a pour tout x, alors f est constante.
- JJJ
- 01-03-2025 20:50:20
On peut montrer que pour tout y, f(y/3^n)=f(y) puis on utilise la continuité en 0 pour dire que la limite de f(y/3^n) en +infini est égal à f(0), donc pour tout y f(y)=f(0) ?
- bridgslam
- 01-03-2025 17:37:15
Bonjour,
Côté algébrique tu peux t'inspirer de l'idée de Michel Coste: que montre-t-elle ?
Ensuite, branche plus analyse, comment montre-t-on souvent que deux nombres réels sont égaux ?
Comment y parvenir grâce à l'indication de Michel?
Une alternative est d'utiliser les suites.
Pour x réel donné, tu peux considérer une suite $u_x$ intéressante à deux titres:
- sa suite image $(f(u_x))$ est constante
- $(u_x)$ est convergente
Compte-tenu de la continuité de f en 0, un résultat classique liée aux suites permet de conclure.
Bon courage
- Michel Coste
- 01-03-2025 15:40:46
Ne vois tu pas comment utiliser la continuité en $0$ ?
- JJJ
- 01-03-2025 15:10:52
Il faudrait faire une récurrence par rapport aux puissances de 3 ?
- Michel Coste
- 01-03-2025 14:31:46
Bonjour,
Tu as par exemple $f(2)=f(2/3)=f(2/9)=f(2/27)=f(2/81)=\ldots$
- JJJ
- 01-03-2025 14:02:36
– Soit f : R → R continue en 0 telle que :
∀x ∈ R, f(3x) = f(x)
Montrer que f est constante
- JJJ
- 01-03-2025 13:19:50
Bonjour, pourriez vous m'aider pour cette exercice ?
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