Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bibmgb

Membre

Inscription : 16-04-2017

Messages : 102

Fraction rationnelle et forme irréductible

Bonjour,
Soient A et B deux polynômes à coefficients dans un corps K et soit [tex]\lambda[/tex] un élément de K. On suppose que [tex]B(\lambda)\neq 0[/tex].

On peut écrire que [tex]\dfrac{A(X-\lambda)}{B(X-\lambda)}=\dfrac{A}{B}[/tex] puisque [tex]A(X-\lambda) B=AB(X-\lambda)[/tex].

Ce qui me perturbe un peu c'est que pour [tex]\dfrac{A(X-\lambda)}{B(X-\lambda)}[/tex], [tex]\lambda[/tex] est un pôle mais pour [tex]\dfrac{A}{B}[/tex], [tex]\lambda[/tex] n'est pas un pôle.

Ce qui me gêne c'est que deux objets égaux n'aient pas les mêmes propriétés; ici on parle de deux fractions rationnelles égales et pourtant elles n'ont pas les mêmes pôles. Ce fait n'est-il pas gênant ?

Merci.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Fraction rationnelle et forme irréductible

Bonjour,

Le pôle d'une fraction rationnelle est défini lorsque cette fraction rationnelle est écrite sous forme irréductible, ce qui n'est pas le cas de $\frac{(X-\lambda)A}{(X-\lambda)B}$.

Roro.

bibmgb

Membre

Inscription : 16-04-2017

Messages : 102

Re : Fraction rationnelle et forme irréductible

Effectivement, je n'ai pas prêté attention au fait que la notion de pôle était définie sur une fraction irréductible.

Je m'interroge également sur la notion de conjugué d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle (c'est utilisé dans la décomposition en éléments simples).

Si P est un polynôme à coefficients dans [tex]\mathbb{C}[/tex], a-t-on [tex]\bar{P}=\bar{a_0}+\bar{a_1}X+\dots + \bar{a_n}X^n[/tex] ?
Je sais bien que [tex]X[/tex] représente l'indéterminée et n'est donc pas un nombre complexe dont on peut prendre le conjugué mais quand on passe à la fonction polynomiale de la variable complexe, on a cette fois [tex]\bar{P}=\bar{a_0}+\bar{a_1}\bar{x}+\dots + \bar{a_n}\bar{x}^n[/tex]?
Or quand on cherche les coefficients d'une décomposition en éléments simples, on évalue des polynômes (numérateurs et dénominateurs des fractions) en des valeurs complexes, donc on travaille avec la fonction polynomiale et non avec le polynôme ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Fraction rationnelle et forme irréductible

Re-bonjour,

En fait (mais tu as l'air de le savoir), il ne faut pas confondre un polynôme $P\in \mathbb C[X]$ et la fonction associée souvent notée aussi $P:x\in \mathbb C \longmapsto P(x)\in \mathbb C$.

Pour un polynôme $P\in \mathbb C[X]$, si tu décides de faire comme tu l'as dit (en conjuguant les coefficients) pour définir $\overline P$ alors effectivement pour $z$ non réel, tu auras souvent $\overline P(z) \neq \overline{P(z)}$.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-02-2025 18:04:33)