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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 30-01-2025 10:02:53
- bibmgb
- Membre
- Inscription : 16-04-2017
- Messages : 102
Rédaction raisonnement par récurrence
Bonjour,
J'ai lu dans un cours de MPSI que l'hérédité consistait à prouver l'assertion "Pour tout entier naturel n, P(n) implique P(n+1)".
Donc qu'il convenait de rédiger comme ceci : "Soit n un entier naturel. Supposons P(n) et montrons P(n+1)."
Or on peut rencontrer d'autres façons de rédiger cette étape comme "Supposons qu'il existe un entier naturel n tel que P(n). Montrons alors P(n+1)." Est-ce que cette formulation est fausse ?
Merci.
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#2 30-01-2025 11:30:09
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Rédaction raisonnement par récurrence
Bonjour,
Cette formulation n'est pas très claire. En effet, ce qu'il faut montrer est que pour tout entier $n$ vérifiant $P(n)$, on a $P(n+1)$.
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#4 30-01-2025 12:20:14
- DeGeer
- Membre
- Inscription : 28-09-2023
- Messages : 222
Re : Rédaction raisonnement par récurrence
Bonjour
A priori, les deux formulations sont correctes. Dans l'expression "soit n un entier naturel", le "soit" est le verbe "être". D'ailleurs, quand on considère plusieurs éléments, on peut le conjuguer ("soient m et n deux entiers naturels", même si "soit m et n deux entiers naturels" est acceptable).
Ce qu'on ne veut pas voir (entre autres) dans un raisonnement par récurrence, ce sont des expressions comme "supposons que pour tout n, P(n), montrons P(n+1)" qui sont des erreurs logiques.
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#6 30-01-2025 16:41:26
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Rédaction raisonnement par récurrence
Bonsoir,
La seconde formulation n'est pas valable, car n est particularisé.
Montrons avec cette (mauvaise) idée que tout entier naturel est égal à 0 ou 1 ( propriété P)
On a P(0): initialisation.
Il existe n tel que P(n) et P(n+1), à savoir n=0, on a donc bien l'implication pour ce n: pseudo-hérédité.
Conclusion (en adoptant cette pseudo-técurrence): $\mathbb{N}=\{0,1\}$
... Et ne pas dire que ça cloche parce-que l'existence de n n'est pas limitée à des valeurs particulières, mais est quelconque, car il n'y alors plus rien à prouver puisque le résultat final est admis dès le départ ( ce qui revient à la remarque finale de De Geer cette fois)...
A.
Dernière modification par bridgslam (30-01-2025 16:52:59)
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#7 30-01-2025 17:10:46
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 862
Re : Rédaction raisonnement par récurrence
Bonjour bonsoir !
Il me semble que l'on peut démarrer un raisonnement par récurrence à partir d'une valeur donnée n0 de n, on ne s'occupe pas des n < n0 ... Evidemment ça dépend du problème ...
B-m
Dernière modification par Bernard-maths (30-01-2025 17:11:26)
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