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Bonsoir,

La seconde formulation n'est pas valable, car n est particularisé.
Montrons avec cette (mauvaise) idée que tout entier naturel est égal à 0 ou 1 ( propriété P)
On a P(0): initialisation.
Il existe n tel que P(n) et P(n+1), à savoir n=0, on a donc bien l'implication pour ce n: pseudo-hérédité.
Conclusion (en adoptant cette pseudo-técurrence): $\mathbb{N}=\{0,1\}$

... Et ne pas dire que ça cloche parce-que  l'existence de n n'est pas limitée à des valeurs particulières, mais est quelconque, car il n'y alors plus rien à prouver puisque le résultat final est admis dès le départ ( ce qui revient à la remarque finale de De Geer cette fois)...

A.

Bonjour
A priori, les deux formulations sont correctes. Dans l'expression "soit n un entier naturel", le "soit" est le verbe "être". D'ailleurs, quand on considère plusieurs éléments, on peut le conjuguer ("soient m et n deux entiers naturels", même si "soit m et n deux entiers naturels" est acceptable).
Ce qu'on ne veut pas voir (entre autres) dans un raisonnement par récurrence, ce sont des expressions comme "supposons que pour tout n, P(n), montrons P(n+1)" qui sont des erreurs logiques.

Bonjour,
Cette formulation n'est pas très claire. En effet, ce qu'il faut montrer est que pour tout entier $n$ vérifiant $P(n)$, on a $P(n+1)$.