Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alexian

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Somme de coefficients binomiaux

Hello, j'ai un peu de mal à trouver comment démontrer cette égalité, est-ce qu'il serait possible d'avoir un peu d'aide svp ?

Soit [tex]p \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_0^p\binom{p}{2k} - \sum_0^p\binom{p}{2k+1} = \sum_0^p\binom{k}{p} (-1)^k[/tex]

(Ou directement égal à 0)

Merci d'avance,
Alexian

bridgslam

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Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonsoir ,

Il y a plusieurs pbs d'indices dans vos sommes, et dans vos coefficients.
Vous pouvez vous en sortir avec la formule du binôme, ou par dénombrement.

Si p est non nul , considérer un élément fixé e.
Envoyer les parties paires $P $contenant e vers $P\backslash\{e\} $ et les parties paires$ P' $sans e vers $P' \cup \{e\}$.
Que peut-on en tirer?
A

Dernière modification par bridgslam (23-10-2024 17:33:44)

alexian

Membre

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Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonsoir ,

Il y a plusieurs pbs d'indices dans vos sommes, et dans vos coefficients.
Vous pouvez vous en sortir avec la formule du binôme, ou par dénombrement.

A

Bonsoir, non ce n'est pas un soucis si 2k dépasse p car les coefficient vaudront 0 et ne changeront rien à la somme.
Pour la résolution je ne comprends pas vraiment comment vous souhaitez procéder.

Bien à vous,
AV

bridgslam

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Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonsoir ,

Ça depend des conventions adoptées.
Vous inversez les indices dans les deux membres si vous vous relisez.
Je vous ai presque tout dit pour la méthode ensembliste.
Par le binôme, il suffit d'écrire l'égalité de votre cours avec des x et y idoines

A

Zebulor

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Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour,

pour commencer :
Soit [tex]p \in \mathbb{N}[/tex]
$\sum\limits_{k=0}^p \binom{k}{p} (-1)^k$ est facile à calculer avec la formule du binôme...

bridgslam

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Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour ,

Pareil que lui, sauf erreur le p et le k sont a intervertir.
C'est l'inverse du bon vieux temps où on écrivait avec des C.
Ici ils seront tous nuls sauf le dernier égal à 1...

A

Dernière modification par bridgslam (24-10-2024 13:18:05)

Zebulor

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Re : Somme de coefficients binomiaux

re,
tu as raison Bridgslam c'est ce que je vérifiais à l'instant..