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Omhaf

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Modeste remarque sur triplets

Bonjour,
Toujours à propos des triplets pythagoriciens,
on trouve des triplets comme 3,4 et 5  et son multiple 6,8 et 10
Dans ce poste je ne vais pas parler des multiples
Soient A,B et C les segments du triplet
nous savons que A²+B²= C²
dans les premiers triplets  j'ai constaté que B+C= A²
exemple
3,4,5           4+5=9= 3²
5,12,13       12+13=25 =5² etc ..
Mais, ce que j'ai remarqué aussi, c'est que dans  certains triplets (surtout lorsque le A est pair) A+C est un carré dont la racine est un entièr
exemples
8,15,17         8+17 = 25  = 5²
12,35,37       37+12 = 49 = 7²
20,21,29       20+29= 49  = 7²
28,195,197    28+197=225= 15²
248 945,977  248+977=1225=35²
372,925,997  372+997= 1369= 37²

est ce que cela a un sens ou utilité quelconques ?
Merci d'avance pour vos suggestions
@+

Dernière modification par Omhaf (13-10-2024 08:19:13)

Rescassol

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Re : Modeste remarque sur triplets

Bonjour,

La forme générale des triplets $(a,b,c)$ tels que $a^2=b^2+c^2$ est:
$a=\lambda (u^2+v^2),\space b=\lambda  (u^2-v^2),\space c=2\lambda uv$ avec $u\wedge v=1$,
basée sur la relation $(u^2+v^2)^2=(u^2-v^2)^2+(2uv)^2$.
Tu peux alors vérifier tout ce que tu veux.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (13-10-2024 11:38:39)

yoshi

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Re : Modeste remarque sur triplets

Bonjour,

Je ne m'étais jusqu'alors jamais servi que de :
$\forall n=2k+ 1, k\in \mathbb{N}^*,\left( n,\,\frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2}\right)$ est un triplet Pythagoricien :

$n^2+\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2= \frac{4n^2}{4}+\frac{(n^2-1)^2}{4} =\frac{4n^2+n^4-2n^2+1}{4}= \frac{n^4+2n^2+1}{4}= \left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2$
Et on a bien :
$n^2+\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2=\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2$

Si $n,\,\frac{n^2-1}{2},\,\frac{n^2+1}{2}$, (avec n impair), sont les mesures des longueurs des 3 côtés d'un triangle, alors ce triangle est un triangle rectangle...

Par contre je n'avais jamais pris garde à cette propriété particulière :
$\frac{n^2-1}{2}+\frac{n^2+1}{2}= \frac{n^2-1+n^2+1}{2} =\frac{2n^2}{2}=n^2$
que je trouve pourtant maintenant... évidente  !!

@+

Omhaf

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Re : Modeste remarque sur triplets

Bonsoir,
Merci Rescassol et merci yoshi,
dans mon premier poste, j'ai oublié de mentionner ceci :
A+C  et  C-A  sont des carrés
exemples utilisés

8,15,17         8+17 = 25  = 5²              et 17-8 =9= 3²
12,35,37       37+12 = 49 = 7²             et  37-12=25=5²
20,21,29       20+29= 49  = 7²             et  29-20 = 9= 3²
28,195,197    28+197=225= 15²          et  197-28=169=13²
248 945,977  248+977=1225=35²        et  977-248 =729= 27²
372,925,997  372+997= 1369= 37²      et  997-372 =625 = 25²

à toute fin utile.
@+

Dernière modification par Omhaf (14-10-2024 11:28:16)

Omhaf

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Re : Modeste remarque sur triplets

Bonjour à tous,
Je sais que j'expose certains sujets parfois d'une manière naïve mais si quelqu'un peut m'aider à comprendre et justifier ce qui suit je lui serais reconnaissant.

Soit A,B et C éléments d'un triplet pythagoricien
A<B<C (C = hypoténuse) appartenant à l'ensemble  N

A nombre impair

si C= B+1 alors B+C=A²

Merci d'avance à ceux qui participeront
@+

Dernière modification par Omhaf (17-10-2024 17:49:26)

yoshi

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Re : Modeste remarque sur triplets

Salut Omhaf,

Tu insistes ? Tu as bien raison : en début d'année scolaire, je donnais comme consigne à mes élèves :
Insistez tant que vous n'êtes pas pleinement satisfait ou que vous n'avez toujours pas compris...
Bien sûr à la 10e fois,  il est bien possible que le temps tourne à l'orage...
Alors abritez-vous, laissez le vent souffler et quand l'orage sera passé, posez votre question une 11e fois et vous aurez une réponse !

Ce n'est pas maintenant que je vais changer d'avis !
Bon, alors  en ce qui concerne C impair (et C=B+1), si je pars de l'entier naturel n impair ($\geqslant 3$) mes triplets sont de la forme
$\left(n,\,\frac{n^2-1}{2}\,\frac{n^2+1}{2}\right)$
Exemple je choisis n = 13
Donc A =13.
Alors $B=\frac{n^2-1}{2} =\frac{13^2-1}{2} =\frac{169-1}{2}=\frac{168}{2} = 84$
Et     $C=\frac{n^2+1}{2}=\frac{13^2+1}{2}=\frac{169+1}{2}=\frac{170}{2} = 85$

Mon triplet est donc $(13, 84, 85)$  et j'ai bien $C = B +1$ et $ B+C= 84+85 = 169 = 13^2=A^2$
Et si ta question est : << Est-ce que c'est toujours vrai ? >>
je réponds : oui, voilà la preuve :
$B+C =\frac{n^2-1}{2}+\frac{n^2+1}{2}=\frac{(n^2-1)+(n^2+1)}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2=A^2$

Concernant $C-A$
Que dit mon exemple ? 85 -13= 72 et $C-A$ n'est pas un carré: c'est un contre exemple. L'affirmation C-A est un carré est fausse (au sens où, en Maths, si une propriété est vraie, alors elle est toujours vraie) dans le cas de mes triplets...

@+

Omhaf

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Re : Modeste remarque sur triplets

Bonsoir,

Comme toujours yoshi, tu es toujours là, présent et répondant aux attentes,
Je te remercie pour la belle formulation de la question posée et pour la délicatesse du discours.

@+