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Omhaf · 17-10-2024 20:24:00

Bonsoir,

Comme toujours yoshi, tu es toujours là, présent et répondant aux attentes,
Je te remercie pour la belle formulation de la question posée et pour la délicatesse du discours.

@+

yoshi · 17-10-2024 19:04:40

Salut Omhaf,

Tu insistes ? Tu as bien raison : en début d'année scolaire, je donnais comme consigne à mes élèves :
Insistez tant que vous n'êtes pas pleinement satisfait ou que vous n'avez toujours pas compris...
Bien sûr à la 10e fois, il est bien possible que le temps tourne à l'orage...
Alors abritez-vous, laissez le vent souffler et quand l'orage sera passé, posez votre question une 11e fois et vous aurez une réponse !

Ce n'est pas maintenant que je vais changer d'avis !
Bon, alors en ce qui concerne C impair (et C=B+1), si je pars de l'entier naturel n impair ($\geqslant 3$) mes triplets sont de la forme
$\left(n,\,\frac{n^2-1}{2}\,\frac{n^2+1}{2}\right)$
Exemple je choisis n = 13
Donc A =13.
Alors $B=\frac{n^2-1}{2} =\frac{13^2-1}{2} =\frac{169-1}{2}=\frac{168}{2} = 84$
Et $C=\frac{n^2+1}{2}=\frac{13^2+1}{2}=\frac{169+1}{2}=\frac{170}{2} = 85$

Mon triplet est donc $(13, 84, 85)$ et j'ai bien $C = B +1$ et $ B+C= 84+85 = 169 = 13^2=A^2$
Et si ta question est : << Est-ce que c'est toujours vrai ? >>
je réponds : oui, voilà la preuve :
$B+C =\frac{n^2-1}{2}+\frac{n^2+1}{2}=\frac{(n^2-1)+(n^2+1)}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2=A^2$

Concernant $C-A$
Que dit mon exemple ? 85 -13= 72 et $C-A$ n'est pas un carré: c'est un contre exemple. L'affirmation C-A est un carré est fausse (au sens où, en Maths, si une propriété est vraie, alors elle est toujours vraie) dans le cas de mes triplets...

@+

Omhaf · 17-10-2024 17:48:52

Bonjour à tous,
Je sais que j'expose certains sujets parfois d'une manière naïve mais si quelqu'un peut m'aider à comprendre et justifier ce qui suit je lui serais reconnaissant.

Soit A,B et C éléments d'un triplet pythagoricien
A<B<C (C = hypoténuse) appartenant à l'ensemble N

A nombre impair

si C= B+1 alors B+C=A²

Merci d'avance à ceux qui participeront
@+

Omhaf · 13-10-2024 20:54:53

Bonsoir,
Merci Rescassol et merci yoshi,
dans mon premier poste, j'ai oublié de mentionner ceci :
A+C et C-A sont des carrés
exemples utilisés

8,15,17 8+17 = 25 = 5² et 17-8 =9= 3²
12,35,37 37+12 = 49 = 7² et 37-12=25=5²
20,21,29 20+29= 49 = 7² et 29-20 = 9= 3²
28,195,197 28+197=225= 15² et 197-28=169=13²
248 945,977 248+977=1225=35² et 977-248 =729= 27²
372,925,997 372+997= 1369= 37² et 997-372 =625 = 25²

à toute fin utile.
@+

yoshi · 13-10-2024 10:59:50

Bonjour,

Je ne m'étais jusqu'alors jamais servi que de :
$\forall n=2k+ 1, k\in \mathbb{N}^*,\left( n,\,\frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2}\right)$ est un triplet Pythagoricien :

$n^2+\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2= \frac{4n^2}{4}+\frac{(n^2-1)^2}{4} =\frac{4n^2+n^4-2n^2+1}{4}= \frac{n^4+2n^2+1}{4}= \left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2$
Et on a bien :
$n^2+\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2=\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2$

Si $n,\,\frac{n^2-1}{2},\,\frac{n^2+1}{2}$, (avec n impair), sont les mesures des longueurs des 3 côtés d'un triangle, alors ce triangle est un triangle rectangle...

Par contre je n'avais jamais pris garde à cette propriété particulière :
$\frac{n^2-1}{2}+\frac{n^2+1}{2}= \frac{n^2-1+n^2+1}{2} =\frac{2n^2}{2}=n^2$
que je trouve pourtant maintenant... évidente !!

@+

Rescassol · 13-10-2024 08:32:55

Bonjour,

La forme générale des triplets $(a,b,c)$ tels que $a^2=b^2+c^2$ est:
$a=\lambda (u^2+v^2),\space b=\lambda (u^2-v^2),\space c=2\lambda uv$ avec $u\wedge v=1$,
basée sur la relation $(u^2+v^2)^2=(u^2-v^2)^2+(2uv)^2$.
Tu peux alors vérifier tout ce que tu veux.

Cordialement,
Rescassol

Omhaf · 13-10-2024 05:15:21

Bonjour,
Toujours à propos des triplets pythagoriciens,
on trouve des triplets comme 3,4 et 5 et son multiple 6,8 et 10
Dans ce poste je ne vais pas parler des multiples
Soient A,B et C les segments du triplet
nous savons que A²+B²= C²
dans les premiers triplets j'ai constaté que B+C= A²
exemple
3,4,5 4+5=9= 3²
5,12,13 12+13=25 =5² etc ..
Mais, ce que j'ai remarqué aussi, c'est que dans certains triplets (surtout lorsque le A est pair) A+C est un carré dont la racine est un entièr
exemples
8,15,17 8+17 = 25 = 5²
12,35,37 37+12 = 49 = 7²
20,21,29 20+29= 49 = 7²
28,195,197 28+197=225= 15²
248 945,977 248+977=1225=35²
372,925,997 372+997= 1369= 37²

est ce que cela a un sens ou utilité quelconques ?
Merci d'avance pour vos suggestions
@+

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