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Malcolm

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Calcul du délai optimal pour réinvestir des gains avec frais fixes

Bien le bonjour,

J'aimerais établir la relation permettant de déterminer le délai optimal de réinvestissement. Je m'explique. Supposons que j'ai un capital de 1000€ avec un rendement par itération de 1% et des frais de 0.2€ à chacune de ces itérations. Comment puis-je calculer le délai optimal de réinvestissement sur une période totale de 100 jours par exemple ? Dois-je réinvestir mon rendement 50 fois, 100 fois ou 50 fois ?

Un rapide calcul me permet d'affirmer que le réinvestissement optimal (qu'à partir de ces 3 seuls exemples) est de 50 fois plutôt que 100 ou 200 fois. Mais quel serait ce nombre optimal ?

Si 50 fois, le rendement est égal à 20€ - 0.2€ = 19.8€ donc 1.98% (19.8/1000*100)

1000*(1.0198^(50)) = ~2665.32

Si 100 fois, le rendement est égal à 10€ - 0.2€ = 9.8€ donc 0.98% (9.8/1000*100)

1000*(1.0098^(100)) = ~2651.77

Si 200 fois, le rendement est égal à 5€ - 0.2€ = 4.8€ donc 0.48% (4.8/1000*100)

1000*(1.0048^(200)) = ~2605.70

J'espère que mon énoncé et ma formulation sont claires. Merci d'avance ! ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Calcul du délai optimal pour réinvestir des gains avec frais fixes

Bonjour,

Ce que tu appelles "fois" c'est bien  le nombre d'itérations ?
100 itérations font passer le capital de 1000 € à $1000 \times 1.01^{100} = 2704.81$ € à 0.01 € près avant frais ?
100 itérations entrainent 0.2 * 100 = 20 € de frais ?

Le rendement c'est comme si c'était un taux d'intérêt ?

Donc, si j'ai bien compris, pour 10 itérations à partir d'un capital de 1000 €, tu obtiens une somme finale de $1000 \times 1.01^{10} - 0.2\times 10 \approx 1102.62$ € à 0,01 € près)
n étant le nombre d'itérations Si j'ai bien compris bien sûr :
la fonction s'écrit $ f(n) = 1000\times 1.01^n-0.2\times n$
C'est une fonction strictement croissante..
Une petite boucle en Python, de 100 itérations à 1000 itérations par tranches de 100 :

Itérations     Rendement net
 100              2684.81
 200              7276.02
 300              19728.47
 400              53444.12
 500              144672.77
 600              391463.40
 700             1059020.19
 800             2864671.12
 900             7748654.84
1000             20958955.64

Refait avec mon tableur :

Nombre d'Itérations      Rendement réel
100                          2 684,81 €
200                          7 276,02 €
300                         19 728,47 €
400                         53 444,12 €
500                        144 672,77 €
600                        391 463,40 €
700                      1 059 020,19 €
800                      2 864 671,12 €
900                      7 748 654,84 €
1000                    20 958 955,64 €

Alors, je ne dois pas avoir compris ton problème, j'arrive à des chiffres "astronomiques"...

un rendement par itération de 1% et des frais de 0.2€ à chacune de ces itérations.

J'ai donc compris ça comme ça :
- un rendement de 1% par itération
- des frais de 0,20 € par itération
ce qui ne colle pas avec tes calculs...

Donc, probablement mon interprétation est fausse : itération a probablement un autre sens que j'ignore, ne comprenant pas comment obtenir à partir de 1000 € et 1 % par intération un  rendement de  20€ si 50 fois

Trop tard ce soir pour aller creuser la question via Google, demain sera un autre jour eu spécialiste va bien passer par là qui te donnera la bonne réponse...

@+

Dernière modification par yoshi (26-07-2024 20:19:40)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Calcul du délai optimal pour réinvestir des gains avec frais fixes

Bonjour,

Bon, pas de spécialiste e vue...
Il est vrai que, au vu de la difficulté à arracher à Google une réponse concernant le procédé d'obtention des 20 € de rendement -0,2 € de frais ?) pour 50 fois (où sont passées les itérations dans le calcul ?), 10 € pour 100 fois -0,2 €, et 5 € pour 200 fois -0,2€) ça ne doit pas courir les forums...

Je vais donc faire une supposition
50*2 -> 100 ; 100*2- 200
d'où
20/2 -> 10 ; 10/2 =5.

Il y a 99 % de chances pour que ce ne soit pas aussi simple.
Au cas où,  j'aurais alors de 50 à 75 fois :
50 * 1,5 = 75 d'où 20/1,5=40/3 =13,333 et 13,333-0,2 = 13,133
La fonction qui donne le capital au moins pour 50, 100, 200 s'écrit,
t étant le taux calculé, n "le nb de fois"
20*(50/n)=1000/n}
t=1+(1000/n-0,2)/1000 =$1+\dfrac{\frac{1000 }{n}-0,2 }{1000}=1+\dfrac{\frac{1000-0,2\times n}{n }}{1000}=1+\frac{1000-0,2\times n}{1000n }$
f telle que $f(n)=1000-0,2n$  est une fonction décroissante
g telle que $g(n)1000n$, est,-elle, croissante.
et 1000n>1000-0,2n.
D'où f/g est décroissante et le donc le taux 1+f/g tend vers 1 en décroissant et valeur finale très probablement aussi.

Refais le calcul pour 1000 € et 40 fois, 30 fois, 20 fois, 10 fois qui donne 20 € pour 50 fois...
Et, en principe, tu verras que ta valeur finale croît à mesure que le nombre de fois se rapproche de 10...
Tant que je ne connais la méthode de calcul qui aboutit à 20 € pour 50 fois et un capital de 1000 € de départ, ne sont que des conjectures...
Avec la supposition faite, il n'y a pas d'optimisation : la fonction qui donne la valeur finale décroît beaucoup trop vite

Pour optimiser, il faudrait que ladite fonction connaisse un pic pour un certain nombre de fois : là ce n'est pas le cas...

Donc, à toi de jouer...

@+