Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bronx

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derivabilité

Bonjour,

Soit f : [0,1] → R une fonction dérivable qui n’est pas la fonction nulle. On suppose qu’il existe M > 0 tel que |f′(x)| ⩽ M|f(x)| pour tout x ∈ [0,1].
1) Soit g : [0,1] → R la fonction définie par g(x) = f(x)²e^-2Mx. Montrer que g est décroissante.
2) Montrer que f ne s'annule pas

Pour la question 2 j'ai supposé par l'absurde que f s'annule puis j'ai noté a le plus petit réel vérifiant f(a) = 0. Il est clair donc que pour tout x ∈ [a,1], f(x) = 0 (décroissance de g). on sait de plus que f ne change pas de signe (TVI), on peut donc supposer sans perte de généralité que f est positive. L'inégalité devient donc |f'(x)| ⩽ Mf(x). J'ai ensuite essayé d'utiliser le théorème des accroissements finis mais je n'ai rien trouvé. Merci de m'aider.

Dernière modification par Bronx (19-05-2024 21:31:47)

yoshi

Modo Ferox

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Re : derivabilité

Bonjour,

Qu'as-tu déjà fait ? Où bloques-tu ?
Pour une aide efficace, il serait nécessaire de commencer par là, ainsi que le stipulent nos Règles de fonctionnement :

Comment bien poster
(...)
   * Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

Tout ça pour que tu ne le prennes pas mal, juste pour te préciser que procéder ainsi fait gagner du temps à celui qui demande de l'aide...

      Yoshi
- Modérateur -

Fred

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Re : derivabilité

Bonsoir,

  C'est un bon début ! Si $a>0,$ on peut trouver $\delta>0$ tel que $\delta M<1$ et $a-\delta M\geq 0.$
Puisque $f$ est strictement positive sur $[0,a[,$ on peut considérer $c$ tel que $f$ admet son maximum en $c$
sur $[a-\delta M,a]$ et on sait alors que $f(c)>0$. Si j'applique le théorème des accroissements finis entre $c$ et $a,$
je sais qu'il existe $d\in [c,a]$ tel que $f(c)=f(c)-f(a)=f'(d)(c-a).$

On prend la valeur absolue, et on trouve que $f(c)\leq f(d) \delta M.$
Et là tu dois pouvoir conclure en utilisant les propriétés de $c$ et de $\delta$....

F.

Bronx

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Re : derivabilité

Merci beaucoup.

Dernière modification par yoshi (20-05-2024 08:01:38)