Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

  C'est un bon début ! Si $a>0,$ on peut trouver $\delta>0$ tel que $\delta M<1$ et $a-\delta M\geq 0.$
Puisque $f$ est strictement positive sur $[0,a[,$ on peut considérer $c$ tel que $f$ admet son maximum en $c$
sur $[a-\delta M,a]$ et on sait alors que $f(c)>0$. Si j'applique le théorème des accroissements finis entre $c$ et $a,$
je sais qu'il existe $d\in [c,a]$ tel que $f(c)=f(c)-f(a)=f'(d)(c-a).$

On prend la valeur absolue, et on trouve que $f(c)\leq f(d) \delta M.$
Et là tu dois pouvoir conclure en utilisant les propriétés de $c$ et de $\delta$....

F.

Bonjour,

Soit f : [0,1] → R une fonction dérivable qui n’est pas la fonction nulle. On suppose qu’il existe M > 0 tel que |f′(x)| ⩽ M|f(x)| pour tout x ∈ [0,1].
1) Soit g : [0,1] → R la fonction définie par g(x) = f(x)²e^-2Mx. Montrer que g est décroissante.
2) Montrer que f ne s'annule pas

Pour la question 2 j'ai supposé par l'absurde que f s'annule puis j'ai noté a le plus petit réel vérifiant f(a) = 0. Il est clair donc que pour tout x ∈ [a,1], f(x) = 0 (décroissance de g). on sait de plus que f ne change pas de signe (TVI), on peut donc supposer sans perte de généralité que f est positive. L'inégalité devient donc |f'(x)| ⩽ Mf(x). J'ai ensuite essayé d'utiliser le théorème des accroissements finis mais je n'ai rien trouvé. Merci de m'aider.