Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Étude d.'une fonction exp

Mais pourquoi pas $100000$ ?

Pourquoi alors faire démonter en première partie que $e^{2\alpha}$ est égale à la fraction spécifiée en $\alpha$ ?
Car c'est bien cette égalité, et pas une autre, qui aboutit au nombre d'or !

Hypothèse : L'auteur est probablement parti de la symétrie des signes que je mentionnais plus haut.

Le fait d'intégrer $\alpha$ dans $f$ est une façon naturelle de faire dans ce genre d'exercice.

(Un classique du genre : étude de deux fonctions $f$ et $g$, la dérivée de $f$ faisant intervenir $g$, et $g$ s'annulant pour une valeur $\alpha$. On demande en fin d'exercice de montrer que $f(\alpha)$ s'écrit selon une certaine expression ⁽¹⁾ .) 

Or, cette intégration aboutit à l'égalité demandée, qui aboutit à l'inéquation $\alpha ^2 - \alpha - 1 \le 0$, qui, elle, aboutit à notre fameux nombre d'or.

(1) Voici un document que j'avais écrit il y a quelque temps sur ce genre de question : https://www.cjoint.com/c/NEorDi3H8CD

Je conseille très vivement à nos amis de Terminale de mémoriser la technique. Elle pourra leur être d'un joli secours le jour J...

Dernière modification par Borassus (14-05-2024 18:35:56)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Étude d.'une fonction exp

Notre ami Borassus semble penser qu'en retournant un quelconque caillou, on trouve systématiquement ce nombre d'or.

En retournant plusieurs cailloux, on trouve toute une mine de nombres d'or.  :-)

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 251

Re : Étude d.'une fonction exp

Pourquoi alors faire démonter en première partie que $e^{2\alpha}$ est égale à la fraction spécifiée en $\alpha$ ?
Car c'est bien cette égalité, et pas une autre, qui aboutit au nombre d'or !

Relire peut-être 17h14'08''
Cette égalité, (ce qui est souligné en gras) aboutit au message cité mais n'a aucun lien direct avec le nombre d'or
Pour le coup, j'abandonne.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Étude d.'une fonction exp

Snif ! Je désespère Cailloux !  :-(

Je note qu'un certain nombre d'exercices tournent autour des équations
$x^2 + x -1 = 0$ ,
$x^2 - x -1 = 0$ ,
$-x^2 + x + 1 = 0$ ,
$-x^2 - x + 1 = 0$
aboutissant toutes, sans le dire explicitement, au nombre d'or.
Cette observation revient suffisamment de fois pour faire douter qu'il s'agisse d'un phénomène fortuit.

Je n'aurais pas initié ce débat si ce n'était pas la n-ième fois (intuitivement, de l'ordre de 50 ou 60, peut-être davantage) que j'ai la surprise de voir apparaître le nombre d'or dans un exercice de Première ou de Terminale semblant n'avoir aucun rapport avec celui-ci, souvent, comme ici, à la fin de l'exercice.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Étude d.'une fonction exp

Je crois que l'explication se trouve peut-être dans l'attrait que représentent ces équations : elles sont simples car n'ayant pas d'autres coefficients que $1$ et $-1$.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Étude d.'une fonction exp

Bonsoir,

Histoire d'essayer de convaincre (?) Borassus que ce nombre d'or n'a rien à voir avec la choucroute :

On aurait aussi pu utiliser la majoration $\mathrm e^x \geq 1+x+\frac12 x^2$ ce qui aurait conduit à la relation (polynomiale avec là aussi tous les coefficients égaux à $0$, $+1$ ou $-1$) : $\alpha^3-\alpha-1 \leq 0$.

On en déduit alors $\alpha \leq \widetilde{\varphi}$ où $\widetilde{\varphi} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27}{2}-\frac{3 \sqrt{69}}{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(9+\sqrt{69}\right)}}{3^{2/3}}$.

Si on appelle $\widetilde{\varphi} \approx 1.32472$ le nombre de plomb, je pense qu'il y a une piste à creuser :-p

Roro.

P.S. Pour info, la solution $\alpha$ vaut approximativement $1.19968$.

Dernière modification par Roro (14-05-2024 20:20:22)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Étude d.'une fonction exp

Bonsoir Roro,

J'ai ri de bon cœur en voyant le point d'interrogation dubitatif, à même en être pris d'une quinte de toux.  :-)

Certes, mais, à avoir l'expression de la racine, la résolution de l'équation $\alpha ^3 - \alpha - 1 = 0$ n'est pas vraiment du niveau de nos amis de lycée...
(Je ne saurais la résoudre moi-même, ayant toujours été allergique aux équations de 3ème degré.)

Donc, le point d'interrogation reste tout à fait pertinent. :-)

PS : Je préfèrerais le nombre de chocolat.

Dernière modification par Borassus (14-05-2024 20:51:52)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Étude d.'une fonction exp

re,
dans cette période où nous avons besoin de rire, j'ai aussi bien apprécié la blague de Roro sur le nombre de plomb !! :-)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Étude d.'une fonction exp

Pour clore le débat, je dirais que $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$ est une solution simple, facilement mémorisable, d'une équation du seconde degré simple, elle aussi facilement mémorisable.

Que ce nombre soit précisément le nombre d'or n'entre effectivement pas en ligne de compte, car ce n'est pas en tant que tel qu'il est utilisé dans l'exercice.

Je comprends vos objections — enfin ! direz-vous —  et rends donc caduc le point d'interrogation de Roro.

Bonne fin de soirée.

PS : N'abusez pas de l'aspirine, c'est mauvais pour l'estomac.  :-)